Теория вихрей - Вюлля Г.
Скачать (прямая ссылка):
¦
Это уравнение и два других, относящихся к у и в, составляют систему трех
однородных уравнений для (а1 - а2), (Ьг - 62), (с2-с2) с определителем,
очевидно отличным от нуля, если количество 90 из неравенств (24)
достаточно мало. Отсюда заключаем, что at = а2, 1\ = &2, С) = с2, что и
обеспечивает взаимную однозначность.
Единственность решения. Является ли решение (х, у, в), существование
которого мы показали, единственным? Пусть (t0, ?0 + 6), интервал, в
котором решение определено, и предположим, что мы имеем другое решение
нашей задачи, пусть х, у, s - при тех же условиях непрерывности, что и
первое, и определенное в интервале (го> *о "Ь (r)0> гДе (|/ не обязательно
равно Й. Я утверждаю, что эти решения тождественны во всем интервале, где
они оба определены. В самом деле, х, у, s удовлетворяют уравнениям:
гр у
дЪ
дс
где обозначения понятны сами собой. Отсюда легко можно получить, что
разности (х- а) и другие удовлетворяют условиям (С8'|<в0). Далее,
образуем разности вида:
dt
.JlJL С f Г rid~' I L JL f f
2ir ds J J J r 2tt dy J J J r
T T
, J д__ Г Г Г ri'n_1dx'n_1
rn-l
J-n - l
2" dyn_± J J J
dr'
1 n - 1 n - 1
Обращаясь с этим выражением, как это мы делали с ж; + 1 -х1 в процессе
доказательства теоремы, мы покажем, что (ж - х") удовлетворяет условиям
(С21 ш,/), где
""' = "1* - <ol
где число а зависит только от Т0, -0, тю, С0 и ш0. Мы видим, что если
ограничиться
1
то х-.гп будет стремиться к нулю вместе с-. Следовательно, единственность
решения обеспечена в маленьком интервале /0> tlt где /j меньшее нз чисел
6, 0', -i-; оба решения (х, у, ~) и (х, у, г) совпадают до момента
включительно; последнее - в силу непрерывности. Беря тогда этот момент ti
за новую отправную точку, и возобновляя раосуждение, докажем совпадение
решений на новом интервале tv t2 и так далее, пока оба решения
одновременно определены. Процесс может остановиться только, если ряд
(*1 -*о) + (г2 ¦ • ¦
будет сходящимся и его сумма 0" будет меньше чисел 6 и 0'; тогда, к ав ал
ось бы, мы не можеи перейти через момент Но это не
так. В момент 10 -}- 0" наши оба решения совпадут в силу непрерывности.
Начав опять наши рассуждения с момента t0 -f- 0", как исходного, мы
увидим, что оба решения будут совпадать еще на малом интервале, начиная с
t-j-(t" и так далее, что и требовалось доказать.
ГЛАВА XIII
РАЗЛИЧНЫЕ ОБОБЩЕНИЯ И ПРИМЕНЕНИЯ
Теорема и результаты Лихтенштейна могут быть обобщены в разных
направлениях. Прежде всего заметим простое обобщение, на котором мы не
будем останавливаться, для того случая, когда неограниченная жидкость
содержит в начальный момент t0 несколько вихревых объемов Т0, Т0',...
вместо одного.
Ограниченная жидкость. Менее проста задача, когда мы не имеем уже
неограниченную жидкость, а жидкость заключена в сосуде, движение которого
известно (и который целиком заполнен жидкостью). Строго говоря, сосуд
может деформироваться, но несжимаемость жидкости требует, чтобы объем
жидкости оставался постоянным. Предположим сосуд односвязным и пусть
уравнение поверхности Si где Ф регулярная функция своих четырех
аргументов. Чтобы избегнуть всяких добавочных затруднений, мы допустим,
что эта поверхность не имеет особых точек и, наконец, предположим, что Ф
становится положительной, если перемещаться от v внутрь жидкости. При
этих условиях направляющие косинусы внутренней нормали п будут
причем для радикала взято его арифметическое значение; нормальная к
поверхности скорость V" (скорость перемещения поверхности разрыва) будет
тогда
а. условие несжимаемости, или, лучше сказать, постоянства объема жидкости
внутри 2 запишется в виде:
Ф(х, у, г, t) - О
О)
ЭФ
дх
ЭФ
dl
(3)
?
Наконец, условие того, что 2 постоянно остается жидкой поверхностью, т.
е., что скорость ", v, го касательна к ней, налагает соотношение:
(4)
удовлетворяющееся на поверхности 2-
Мы будем допускать, что для скоростей м0, v0, w0 и вихрей с0, ч]0, С0 в
начальный момент /0 соблюдаются все те условия, что и в прошлой главе,
сохраняя притом те же об означения; вихри предполагаются сосредоточенными
внутри объема, Т0 (односвязного для определенности), ограниченного
поверхностью So-
При этих условиях мы покажем, что прежние результаты сохранятся, и что,
по крайней мере, в течение некоторого промежутка времени, начиная с t0,
можно следить за деформацией заданной конфигурации, которая во все это
время будет сохранять свой первоначальный топологический характер.
Лихтенштейн приводит задачу к интегро-диференциальным уравнениям, которые
можно решать методом последовательных приближений, совершенно аналогичным
описанному на предыдущих страницах.
Начнем с напоминания, отмеченного уже в главе II, что взяв, как п выше,
где Т означает вихревой объем в момент I и определив три функции А, Л, С
от х, у, г соотношениями:
причем вектор и, v, w имеет своим вихрем ij, rit С, мы придем к
заключению, что вектор А, В, С должен иметь вихрь нуль; можно,
следовательно, положить:
