Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Вюлля Г. -> "Теория вихрей " -> 57

Теория вихрей - Вюлля Г.

Вюлля Г. Теория вихрей — М.: ОНТИ, 1936. — 266 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyavihrey1936.djvu
Предыдущая << 1 .. 51 52 53 54 55 56 < 57 > 58 59 60 61 62 63 .. 66 >> Следующая

дадут:
dV, dV,
dx,
^4 = 1 f-^de
I IJ dxtds
< A"'Q,
и, естественно, будем для производных по yt лось, неравенства, полученные
для Уг и Корна, получим искомое неравенство вида:
иметь совершенно аналогичные неравенства и sv Наконец, комбинируя, как
уже говори-
V,
01.1
dx,
dV,
dx.
г-i
/ dV - V&)
dV, dV,
dx,
г-i
с первой теоремой
< Als Qdv
А мы очевидно
Веря за А наибольшее из чисел А, А , . сможем получить все требуемые
неравенства. И мы легко увидим, что все эти неравенства будут
одновременно выполняться для всех ограниченных функций ?0,
удовлетворяющих неравенствам (С0| N) и для всех функций (xt_v ...,
удовлетворяющих неравенствам (С\ | Q0)
и {Съ | Q).
Наконец, мы предполагали, что $0, _х, - функции, определенные
тем фактом, что две последние принимают те же значения, что 10 в
соответствующих точках. Легко заметить, что если плотность S меняется при
переходе от rJ\ и Тг, то ото не повлечет никаких специальных затруднений.
Добавим далее, что если предположить гипотезы, касающиеся
.), более распространенными, примененными ко вторым
производным, допуская, что функции (а?г_1-а), а) удовлетво-
ряют условиям (С721 20) и что кроме того плотность $0 удовлетворяет
условию (C\\N), то будем иметь тогда кроме неравенств (2) аналогичные
неравенства для третьих производных потенциала V, которые мы все в
совокупности обозначим через (Я3[ЛЙ).
ГЛАВА XII ОБЩАЯ ТЕОРЕМА ЛИХТЕНШТЕЙНА
Доказательство теоремы. Мы теперь сможем приступить к доказательству
общей теоремы L. Lichtenstein'a (Math. Zeitschrift, 1925, p. 89), с
которой мы уже встречались в главе X и общий план доказательства которой
мы сейчас изложим в главных чертах, отсылая за подробностями к детальному
мемуару ученого геометра.
Мы знаем, что все сводится к доказательству, - при объясненных уже
обозначениях, - существования трех функций:
х (а, Ь, с, 0, у (а, Ъ, с, t), г (а, 6, с,!.),
удовлетворяющих начальным условиям
х (а, Ъ, с, t0) = а, у (а, Ъ, с, t0) = Ъ, г (а, Ъ, с, t0) - с, (1)
внутри объема Т0 и удовлетворяющих следующим неопределенным уравнениям:
У =
(2)
где Т означает объем, соответствующий объему Т0, в момент t. Функции Е,
т], С, с другой стороны, должны удовлетворять соотношениям:
, дх , дх дх ' -'о'яГ'Г ^яГТ^'
(3)
да 1 10 96 ' 0 дс
4=............................f
..........................J
По предположению мы допускаем, что функции Е0, т|0, С0, как функции от а,
Ъ, с, удовлетворяют условиям ((Ci ] N) при показателе X (между О и 1),
произвольно заданном наперед. Имеем, следовательно, неравенство:
<4)
и аналогичные, где dn означает расстояние между двумя точками (ai> bj,
Cj) и (а2, (r)а)"
Мы будем применять метод последовательных приближений.
Сперва, в виде первого приближения, мы определим функции хх, ;/,, .?[ по
формулам:
Из сделанных предположении и теорем, составивших содержание
предшествующей главы, следует, что эти функции (xv yv sx) обладают
непрерывными первыми и вторыми частными производными и что они
удовлетворяют условиям (б7а | А) и также неравенствам (С31 В). Области Т0
эти формулы (5) ставят в соответствие область 1\ и поверхности S0 -
поверхность мы тогда положим:
На основании (5) ясно, что ijj, рассматриваемые как функции я, Ь, с,
будут иметь первые производные непрерывные и удовлетворяющие неравенствам
(4) И аналогичным. Функции хг, у2, % и их первые и вторые производные
будут непрерывными и эти. функции будут обладать свойствами, аналогичными
свойствам хи ух, гх. Области 2\ и поверхности Slt а следовательно, и Т0 и
80 формулами (6) будут поставлены в соответствие объем Т2 и
ограничивающая его поверхность 8,2. Очевидно, можно продолжать так дальше
и дальше, и после I подобных операций, а затем после Z-j-1-ой будем
иметь:
а;, - a -f-
¦- i\o'd~0 1
(5)
То
t
(6)
при
СО
полагая
:
дх,
да
-L.YI _4_ Г
-Мо дЬ +'о дс
I
(10)
и записав, ради краткости:
'~-±П1Ч?. -*--к/Я-
(11)
Имея это, мы сейчас вместе с Лихтенштейном установим следующую теорему:
Теорема. Если предположить, что для значения I индекса п, функции хл - а,
уя- Ъ, зп-с удовлетворяют всем условиям (0,120) и что разности xn - xn_1,
yu - yn_v зп - удовлетворяют условиям (<7e | Q), где
О - О " -g- ^о>
то подобные же неравенства будут иметь также место для " = l-f- 1.
В самом деле, прежде всего формулы (10) позволяют написать:
д (ж, - а) да
д(х,-а) , д(х,-а)
шГ h 0 Ъ >
дс
и, следовательно (в силу условий, допущенных для Е0, ¦*]", С0 и х, - а),
Е,- Е0 будет удовлетворять условиям (С, \ Л13), при соответствующем
значении постоянной А. Это следует из тождества следующего и аналогичных:
( д fc д{х,--я)]| ( д \t д(х, - а) ] | _
I 9а |> да \ \ да [ да J/,
¦ ГГ д (х, - я) 1 Г д(х,~а) 1 \ / 9Е0 \
1L да Ji L да J2j \да л
, ГЭ(ж,-я)] Г/_М _ / М 1
^ L да J. [да), I да /.]'
Написав также: 1 = ^<>
3(^1- Д-г-i) да
-щ-
а(ж,-
db
¦^о
д(Хг~ ¦";_!) Эс
и используя условия (С7а|2), справедливые для х%- xt_v мы констатируем,
что ;г - ?, удовлетворяют условиям (C^A'Q) при соответствующем значении
Предыдущая << 1 .. 51 52 53 54 55 56 < 57 > 58 59 60 61 62 63 .. 66 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed