Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Вюлля Г. -> "Теория вихрей " -> 65

Теория вихрей - Вюлля Г.

Вюлля Г. Теория вихрей — М.: ОНТИ, 1936. — 266 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyavihrey1936.djvu
Предыдущая << 1 .. 59 60 61 62 63 64 < 65 > 66 >> Следующая

Вернемся, в самом деле, к единственному круговому вихрю, рассмотренному
выше.
Очевидная комбинация из формул (15), с исключением давления р,
показывает, что вихрь С удовлетворяет уравнению:
КГ я 1 ЗС , эс ^ = р_ + рИ_+р,_; (23)
мы уже отметили (стр. 258), что начальная симметрия, а потому и
последующая, относительно точки О влечет соотношение:
х, дг
отсюда следует, что функция С удовлетворяет здесь уравнению
fit
(24)
Это последнее имеет присоединенным уравнение
М9 + р-| = 0; (25)
частным решением (основным) оно, как легко видеть, будет иметь функцию:
рг*
- f
Из (24) и (25) мы получим:
Р(0ДС
где 6 представляет функцию (26).
^(6ДС-СД6) = р-|-(60,
Проинтегрируем ату формулу ио области S, заключенной между кривой С и
маленькой окружностью с центром (ж0, у0), радиус которой мы потом
устремим к нулю; далее проинтегрируем результат но t между моментами 0 и
10. Классические преобразования, примененные уже много раз, приводят к
следующему результату:
Г Г
41ср.С (ж0, у0, У = р I I С (ж, у, 0) --------do +
s 0
W (27)
О С
мы используем это уравнение таким же образом, как это мы сделали с
уравнениями Oseen'a, рассмотренными выше.
В начальный момент t - о вихрь находится в круге Q0 радиуса а с центром в
О и симметричен относительно О. Предположим, что в качестве С мы взяли
окружность с центром в О, имеющую очень большой радиус; тогда тот член из
(27), который содержит интеграл
/('
* г 30 \
л ds>
an an!
в пределе исчезнет; это почти очевидно и проверяется без затруднений,
коль скоро решение получено хоть один раз. Формула (27), следовательно,
дает нам:
Я-Ш.
ft 4
С (ж, у, О) - da, (28)
г" О
что дает нам выражение вихря С во всякий момент у после начального и во
веякой точке х0, у0.
Вычислим теперь функцию тока.
Совершенно так же, как в случае идеальной жидкости, уравнение
неразрывности
ди . dv
присоединенное к определению вихря
dv ди
<Ь~~~ду'
дает уравнение
Aiji = - 2С,
где <\ функция тока т. е.
Имеем, следовательно, в точке 31' (¦> ', у'), положив >¦' - MQMt':
вычисляется непосредственно: в самом деле мы здесь имеем логарифмический
потенциал для масс, распределенных в плоскости с плотностью зависящей
только от г = ММй. Положим г" - ММизвестно (P. Appell Mecanique, t. Ш, p.
125), что логарифмический потенциал однородно окружности постоянен внутри
окружности и что его значение снаружи таково, как будто вся масса
сосредоточена в центре окружности. Заме тив это, выполним интегрирование
I, разбивая плоскость на элемен тарные круговые колечки с общим центром
31. Для колечек радиус г < г" соответствующая часть потенциала выразится
так:
что же касается колечек радиуса больше г", то их часть в выражени
потенциала будет одинакова, вычисляем ли мы ее в 31' или в М она будет,
следовательно,
Ф (*¦'> у'> f f t (*о> //о- Qр ,
со всей
плоскости
и затем, согласно (28):
Интеграл, который нужно вычислить прежде всего,
о
г'
откуда, окончательно:
г" р тг
со рг:
Элементарное интегрирование дает:
у" рГ2
г'
Делая замены и приведения в 1, получаем:
ото же выражение отличается только на постоянную (которой, очевидно,
можно пренебречь) от количества
Внося это в (29), заменяя при этом Г через Г, что изменяет 6 только на не
имеющую значения постоянную, видим, что окончательно получим, слегка
видоизменив обозначения:

где "j)"-) функция, определенная равенством ((>). Ия написанного
равенства, с помощью формул
получаем значения и и ", очевидно, тождественные с полученными из формул
(22). Мы видим, следовательно, что результаты применения обоих методов
совпали. Однако, мы дали, прежде всего, применение интегральным
уравнениям Oseen'a, чтобы сделать еще более очевидным большую мощь этих
уравнений, столь существенных во многих вопросах [см. работы С. W.
Oseen'a и наши лекции но гидродинамике (Lepons sur ]'EIydrodynain>4ue,
Baris, Gauthier =s Villavs, 1929)J.
0
или иначе:
'K% ?
ОГЛАВЛЕНИЕ.
Стр.
Глава I.
Общие классические понятия
Общие уравнения..........................................................
5
Уравнение неразрывности..................................................
6
Дополнительное уравнение............................................. -
Вихрь................................................................ -
Уравнения Гельмгольца ...................................................
7
Формулы Коши. Обобщение..................................................
8
Общие формулы Коши на случай, когда внешние силы не имеют потенциала
......................................................... 11
Свойства вихрей.........................................................
13
Применение теоремы Стокса................................................
14
Вихревая трубка. Ее интенсивность........................................
15
Бесконечно тонкая трубка............................................. -
Глава II.
Определение скоростей по заданным вихрям
Вычисление скоростей в функции данных вихрей в жидкости .... 17
Предыдущая << 1 .. 59 60 61 62 63 64 < 65 > 66 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed