Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Вюлля Г. -> "Теория вихрей " -> 59

Теория вихрей - Вюлля Г.

Вюлля Г. Теория вихрей — М.: ОНТИ, 1936. — 266 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyavihrey1936.djvu
Предыдущая << 1 .. 53 54 55 56 57 58 < 59 > 60 61 62 63 64 65 .. 66 >> Следующая

В самом деле, беря полную производную по I от обеих частей уравнения
(19), получаем сейчас же:
Т т
Определенные таким образом скорости всюду непрерывны; частные производные
существуют всюду, но могут претерпевать разрывы непрерывности при
переходе через S. На больших расстояниях и, v, w
обращаются в нуль как • Из уравнений (20), очевидно,
получаем уравнение:
ди . dv , dw
которое, как известно, эквивалентно
Р(х,у,г) _л
D (а, Ъ, с)
откуда, а также в силу формул Коши (3), легко получить:
l + f + ^ = <21>
Тогда мы знаем, как мы видели в главе II, уравнения (20) и (21) дают:
. dw dv
25 = -к-------а - "
ду ds
и другие уравнения того же типа.
Легко, наконец, показать, что (и, v, w) обладают первыми и вторыми
производными, из которых последние удовлетворяют условиям (С'01 Л). Это
выводится просто применением теоремы Корна для производных, взятых только
по координатам. Посмотрим, что происходит с производными, в которые
входит t, и для этого остановимся, напри-
dn
мер, на ускорениях: возьмем -лт*.
(Art
Мы имеем:
2" = -///ч'-аг* + ///с-3^*'. (И)
т т
При диференцировании но t мы должны учесть, с одной стороны, изменение
под знаком интеграла и, с другой, изменение объема Т интегрирования.
Чтобы исключить эту вторую часть, приведем интегралы к новым, относящимся
к неизменному объему Т0, выражая все под знаками интегралов в функции
(а', V, с') вместо (х', у', s'). Так как речь идет о жидкости, то, как
известно:
Р(*',У',з') ,
D{a', V, с')
и, следовательно;
Го Г0
откуда легко получить: 2тг ¦
dt
-///
Г"
д
1
d I г
dt у ds
/" 1 \
, . rdi\'\
** + 1Г ЧГ I dt° +
*_1 1 "¦ ЙС'
+ /// 4U
что после перехода к переменным (ху', /) примет вид:
du
2тт ¦
-ш +///
/9-1\ 9-
A -L ._r. *L
dt \ дз Г4 ^ дз dt
*' +
j д±\ 9_L
d *• г/ j____L dC_
* \ dy J ^ ^ dy dt
du
dz'.
(23)
Эта формула показывает, что обращается в нуль при бесконечном
В( = Y^-^V2 4-?2)>110 крайней мере, как . Можно даже заключить, что имеем
одновременно
dt
для достаточно большого В. В самом деле, интегралы, входящие
" 7.-1Л
в (23) и содержащие \^щ~J или J> обращаются в нуль
1
вместе с атими выражениями как -^д, так как имеем, например:
а [г
dl V ds
d (з
, 3 (з - s') dsJ w - to' 3 (s - s') f
2 r6 dt rA ' r5 1
(3 - s' \ I I ds ds'\
\ r3 ) r3\ dt dl}
(X - x')(u - u') -j~ . . . } .
Рассмотрим остающиеся количества. Так как
дУ
dy
db
ду
дс *
то имеем:
dr\ dv , dv . ^ dv
~df~;° 17'+"710 Ж
Можно написать, переходя от Т к Т0:
I I / йГ III (Г° + V Ж + ''"У*(r)''
Г У"
или еще:
'd^' л.,_ С Г Г ( HW , 9(%У) , Э(СПУ)
///>'-///{*?
гр rn V
0// Т 0с'
У У
у/аг0' , 3V ,
' + 0с' / °'
9а' 1 db'
и так как уравнение (21) но предположению выполнено в начальный момент,
то
/ / f^fdz'=f I *W-HV+tV)<K
У So
где (я', 3', у') означают направляющие косинусы внешней нормали к 80.
Так как S0 вихревая поверхность, то
а'^о' + РЖ 4" - 0>
и, следовательно,
///
Отсюда следует, согласно элементарным теоремам теории потенциала (см.,
например, P. Appell, Mecanique, t. ИТ, p. 83), что для потенциала
J" J J~~ -Цр от массы, равной в сумме нулю, производная
У
вида


Н№%"
обращается в нуль как при бесконечном Л к совершенно так же
т
откуда непосредственно следует высказанное предложение.
Применяя формулы (13) и неравенства для функций Рг, Q" легко показать,
что, положивип - ~~, получаем ряды:
% + ("г - ид + ("з - мг> + • ¦ • + ("" - 1) + • ¦ •
и их производные первого и второго порядков, сходящиеся, когда (а, Ь, с)
точка Т0 или вне Т0 - при достаточно малых (? - /0). Можно было бы
доказать аналогичное для рядов:
^ dt dt J\T
Мы не будем углубляться в эти детали, отсылая к прекрасному ме-муару
Лихтенштейна.
Взаимно однозначное соответствие между последовательностью областей. Мы
неявно допускали во всем предшествующем, что последовательно
рассматриваемые области, которыми мы пользовались, находились друг к
другу во взаимно однозначном соответствии, что позволило сказать, что их
топологический характер аналогичен. Легко проверить, что это будет именно
так, по крайней мере, для достаточно малых (I - /0).
В самом деле, мы видели, что для всякой точки области 7'0 и для всякого
момента t в подлежащем интервале с началом 10, имелись неравенства вида
д

< Qo. т
где Q0 может быть взято произвольно малым, если сам интервал (? -10)
достаточно мал.
Затем, точке (а, Ъ, с), принадлежащей Т0, мы ставим в соответствие точку
(хп, уи, гп) области Тп по формулам (8). Предположим, что, обратно, одной
точке Тп соответствует больше, чем одна, пусть две точки (аи &" и (а2,
Ъ2, с2) в 7'0, в один и тот же момент, взятый в указанном интервале.
Тогда, следовательно, имеем:
Хп (^1. Хп (^2. ^2* ^2. ^),
ИЛИ
1хп ("1. clf 6) - at] - {хп (а2, 62, с2, 6) - "У -f- a, - a2 = 0.
Применяя формулу конечных приращений и отмечая штрихом производные,
взятые при промежуточных значениях между (а , й , с ) и ("2. й2, с2),
запишем последнее равенство в виде:
("1 - аз) { 1 + -|г Сг" - я) ] + f (/'1" ~а)+(Cl "*Cl) IT(:к* ~ а>=0
Предыдущая << 1 .. 53 54 55 56 57 58 < 59 > 60 61 62 63 64 65 .. 66 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed