Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Вюлля Г. -> "Теория вихрей " -> 62

Теория вихрей - Вюлля Г.

Вюлля Г. Теория вихрей — М.: ОНТИ, 1936. — 266 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyavihrey1936.djvu
Предыдущая << 1 .. 56 57 58 59 60 61 < 62 > 63 64 65 .. 66 >> Следующая

X/
Допуская неизменность формы наших двух цилиндров, присоединим к 2\ и Т2
систему подвижных осей хОу, которую предположим находящейся в равномерном
вращении с угловой скоростью ю около точки О. Пустьх1Оу1 система
неподвижных осей с тем же началом и предположим, что в рассматриваемый
момент t обе системы осей совпадают. Назовем через (и, v) и (мр ",)
скорости, относительную и абсолютную, жидкой частицы. Уравнение
неразрывности
м
Рис. 58.
ди, , dv.
и очевидные формулы
и = м-j аз//]
(*)
I; = ";, Ш,Г,
дают, между прочим:
З.Г ^ ду '
дн . dv
(3)
так что можно положить
Формулы (2) показывают нам, что
улы (2) показывают нам, что имеется соотношение: ^ = 6, -{- ш j ,r dxу dy
= ^ - 1Г1,
(4)
где R есть расстояние -y'l.
Но кривые <!"(.",?/) = const являются, очевидно, отпосителъ-ными
траекториями частиц; согласно общим уравнениям главыII, функция тока в
абсолютном движении дается уравнением
где через г обозначено расстояние точки (хл, //,) от точки У\ или 7'а, и
где do- элемент поверхности. В самом деле, мы помним, что функция тока,
происходящая от одного элемента интенсивности J = 2?<Ь,
Если мы теперь введем предположение, что движение относительно осей Оку
установившееся, то линии и <S'2, ограничивающие вихревые области, будут,
согласно теоремам Гельмгольца, постоянно образовываться одними и теми же
частицами, это будут линии тока в относительном движении. Функция ф
должна быть, следовательно, постоянна на 81 и-&а, и ясно, что это
необходимое условие является также достаточным.
Следовательно, наша задача сведена к следующей: определить вид iS'j (и,
следовательно, по симметрии <S'2). таким образом, чтобы мы имели на &\ и
S2
Ti+Tt
равна - lg г. Следовательно, имеем:

Ту+Т,
Значение постоянной, очевидно, одинаково на и 82 в силу предположенной
симметрии. Но в точности это же уравнение (6), с простою лишь разницей в
обозначениях, встречается в задаче равновесия для масс, притягивающихся
по закону Ньютона. Вообразим наши два цилиндра с сечениями Г, и Т2,
заполненными однородной массой плотности к, частицы которой взаимно
притягиваются по закону Ньютона. Допустим, что эти два цилиндра образуют
фигуру относительного равновесия, тогда как их поверхности вращаютоя
равномерно с угловой скоростью ы' вокруг Oz. При этих условиях, полный
потенциал действующих сил будет постоянным на 8t и S2. Что касается
потенциала сил тяготения, то он равен ем. Appell, Mecanique rationelle,
t. Ill, p. 116 и след.) логарифмическому потенциалу:
•2fk J J lg r dz,
t,+t,
где f универсальная постоянная тяготения. С другой стороны, потен-
tt/2
циал центробежных сил равен -- 7J2, и условие, которое должно выполняться
на iS'j и iS'2, примет вид:
-f41 lg г dz - R3 = const, (7)
П+т,
а это уравнение совпадает с уравнением (6), если положить
Лихтенштейн изучил уравнения этого рода и в своей работе о фигурах
равновесия (Math. Zeitschrift, 1922, p. 201) подробно исследовал решение
задачи, когда дело идет не о двух цилиндрах, но о двух объемах, мало
отличающихся от сфер. Логарифмический потенциал, фигурирующий в (6) или
(7), оказывается тогда замененным обыкновенным потенциалом масс в трех
измерениях. Перенося рассуждения Лихтенштейна на данный случай, находим,
что вращение и> и вид кривых 6', и 82 будут определены одним интегро-
диференциальным уравнением, разрешимым методом последовательных
приближений,по крайней мере, когда 8Х и 82 достаточно мало отличаются от
окружностей и когда D
отношение -у- достаточно мало. Мы удовольствуемся здесь этими ука-
JU
заниями и отошлем для деталей к цитированным работам ученого геометра.
Изученная задача может легко быть обобщена на случай, когда сечения 1\ и
Т2 двух цилиндров не будут больше равными и когда вихри будут иметь
значения Cj и 12 постоянные, но различные в 1\ и 7'2.
Особенно интересен тот частный случай, когда вихри в Г, и Г8
противоположны. Мы знаем, что в случае двух бесконечно тон-
ких трубок одинакового сечения, движение сводится к поступательному
перемещению. Может ли быть то же самое, если две цилиндрические трубки
имеют сечения и S2, симметричные относительно двух осей Ох и Оу. В этом
случае движение оказывается поступательным с ностоянной скоростью %
параллельной Оу, и оси Оху, связанные с цилиндрами, будут сами
перемещаться с этой скоростью v0. Обозначая через Ох1у1 неподвижные оси,
параллельные прежним, и принимая те же обозначения, что и выше, будем
иметь:
М = Mj, V = - v0,
так что если ф и ^ будут две функции тока, относительная и абсолютная, то
мы будем иметь:
ф = ф1 + v0x,
предполагая, что обе системы осей совпадают в рассматриваемый момент. В
абсолютном движении мы имеем:
~т/ J lSrd° + ~f J rdz>
т, Т2
и если мы хотим, чтобы движение относительно осей Оху было перманентным,
Sj и iS'2 должны быть линиями относительного тока и, следовательно, мы
должны иметь:
~ f J lg г da j" J" lg г da - v0x = const
T, T,
на и Значения постоянной противоположны на Sx и &'а. Это уравнение может
Предыдущая << 1 .. 56 57 58 59 60 61 < 62 > 63 64 65 .. 66 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed