Теория вихрей - Вюлля Г.
Скачать (прямая ссылка):
(5)
(С)
(?)
и уравнение неразрывпости требует, чтобы функция tр была гармонической
Ду = 0. (8)
Теперь ясно, что интегро-диференциальные уравнения, приводящие к решению
задачи, будут иметь вид:
Эти уравнения вполне аналогичны тем, которые встречались для
неограниченной жидкости в решенной уже нами задаче, но здесь имеется на
одну неизвестную больше, каковой является функция у.
Но условие (4) позволит нам освободиться от этой дополнительной
неизвестной. Заменяя, в самом деле, в (4) скорости их значениями (10),
получаем на ?:
Потенциал " будет, следовательно, известен (по крайней мере, теоретически
и, естественно, с точностью до постоянной) из решения задачи Неймана, так
как нормальная его производная задана нам уравнением (12).
Эта задача Неймана имеет решение. Известно, и самом деле, что должно
выполняться условие:
(9)
и
(10)
Р__Р дх дх дх \
0 да "гTi0 db "г40 Ус'[
(11)
ЙФ , - 8Ф
йф й<р
Я У* 'Л Ю i
Ух Ух
или, вводя направляющие косинусы нормали и:
V
dn ~~
йФ
ИГ
(12)
Z
(13)
Но мы имеем, с одной стороны,
ЭФ dt,
ЗФ
г * ^дx
da - О,
в силу условия (3), присоединенного к определению (2); ас другой стороны,
имеем, называя через 0 объем, заключенный в 2,
j' J Vnda = J j" (ма-f-pPH-H)y) da =
im
du . dv dw , j 3J+ 1
что равно нулю, так как и, v, w очевидно удовлетворяют условию
несжимаемости:
du . dv dw
d-.r dy дг
Функция <p определена, следовательно, с точностью до постоянной, которая
может быть функцией времени f.
После этого, ход последовательных приближений будет, с точностью до
незначительных деталей, совпадать с тем, который нам уже известен. Сперва
положим:
I JL-L Г Г , д?о }
2х db J J J r0 ' da j '
т"
i/i= ¦ ¦ ¦ ...............................
st~ .......................................
где "0 означает потенциал, определенный решением задачи Неймана:
А<?о - О,
ЗФ
*1° =_________________д1_________________V
dn ------^-г^-^"0 на -о-
Второе приближение получится в виде:
I J__i_ Г f f I
2 it dyt J J J r dxl
U%=
2
Ъ =
где <fi удовлетворяет уравнению Д"4 = 0 при
ЭФ
dn
dt
- V,h на
и так далее. И метод, уже иримененный в главе XII, покажет, что
последовательности хп, ?/", гп сходятся, по крайней мере при достаточно
малых (t - Оо, ж решению х, у, г предложенных уравнений, и притом
единственному. Ясно, что члены, происходящие от функций <р" не вызовут
никаких новых существенных трудностей.
Задача может, следовательно, рассматриваться как теоретически решенная.
Лихтенштейн также показал, что тот же метод применяется к случаю движения
твердого тела, или даже нескольких твердых тел в неограниченной жидкости.
Можно, впрочем, заменить твердые тела деформируемыми, но при условии
постоянства объемов. Мы не будем излагать этих обобщений, но мы остановим
внимание сейчас на некоторых частных приложениях, принадлежащих также
Лихтенштейну, имея в виду обобщить на вихри конечных размеров некоторые
простые результаты, уже известные нам для вихрей бесконечно тонких.
Перманентное движение, относящееся к двум цилиндрическим вихрям в
неограниченной жидкости. Как мы знаем, два цилиндрических бесконечно
тонких вихря, параллельной и равной интенсивности I, будут постоянно
сохранять свое относительное расположение, равномерно вращаясь вокруг
неподвижной оси, расположенной в плоскости обоих вихрей и находящейся на
равном расстоянии от них (жидкость, понятно, предполагается покоящейся на
бесконечности).
Попробуем обобщить этот результат. Очевидно, достаточно рассмотреть, что
происходит в плоскости хОу, нормальной к рассматриваемым цилиндрам.
Предположим, что в некоторый момент t0, вихри,-которые мы будем
предполагать равномерно распределенными, с веэде одинаковой составляющей
С и, следовательно, постоянной во времени, - заключены внутри двух равных
цилиндров, сечениями которых пусть будут площадки У, и У2, имеющие
контурами кривые 8t и S2. Предположим, наконец, что 2\ и Т2 симметричны
друг с другом относительно оси Оц, и, в отдельности каждая, относительно
оси Ох, как указано на рис. 58.
Общие теоремы главы II учат пас, что, в предположении покоя па
бесконечности, центр тяжести вихревых поверхностей Тх и Т2 будет
оставаться неподвижным. С другой стороны, результаты прошлой главы
позволяют нам изучать движение и деформацию двух вихревых цилиндров: во
всяком случае, мы знаем, что конфигурация,
изменяясь, сохраняет свой общий вид и вихри (неизменной величины)
остаются заключенными в двух цилиндрах, происходящих от деформации 7\ и
Т2.
Возможно ли, чтобы дальнейшее движение сводилось просто к вращению в
целом с постоянной угловой скоростью вокруг оси Oz в пространстве, т. е.
вокруг точки О в плоскости х()\р. Мы покажем, что можно определить форму
кривых й) и й2 так, чтобы это было возможным.
Для этого достататочно (но не необходимо), чтобы, обозначив через!)
наибольшее взаимное расстояние между двумя точками 2\ и через L
расстояние между центрами тяжести G1 и G" площадок Т, и Т", D
иметь отношение достаточно малым.
