Теория вихрей - Вюлля Г.
Скачать (прямая ссылка):
Чтобы избежать этих разрывов или, по крайней мере, увидеть, чему они
соответствуют, вообразим переходный слой, толщины е, между 8 и S'
(поверхность, параллельная 8 и с пей соседняя). В этом слое мы заставим
скорость изменяться от 0 до ее значения на 8 (этот метод рассмотрения
принадлежит Пуанкаре). Этот переходный слой эквивалентен вихревому слою.
Возьмем сперва случай, когда 8 представляет неподвижную плоскость:
где а, р, у - направляющие косинусы нормали со стороны, где жидкость
покоится; с той стороны, где жидкость подвижна, ее скорость
предполагается постоянной (и,, г,, wt)- параллельной плоскости.
Переходный слой заключается между предыдущей плоскостью и плоскостью
ЯХ-j- Рг/ -LT;. = X-f?.
Предположим, что скорость внутри переходного слоя равна:
и = у- " + Py±?j-L)>
XX-\ Р//4-Т--j
Скорость и будет изменяться непрерывным образом от О до Внутри слоя вихрь
определяется по формуле:
Величина вихря, следовательно, очень велика, вихрь параллелен плоскости S
(а$ -}- + уч = 0) и перпендикулярен скорости (%, г^, так
как WjS -]- "jirj 10,С = 0. Вихревой слой представляет, следовательно,
поверхность вихрей (поверхностный вихрь). От этого частного случая можно
перейти к общему случаю какого угодно сосуда посредством классического
рассуждения Пуанкаре: заменяют сосуд большим количеством малых элементов
поверхностей, достаточно малых, чтобы можно было связать с ними маленькие
кусочки плоскости, на которых скорость у стенки оставалась бы постоянной.
Выбирают толщину s достаточно малой, чтобы можно было ею пренебречь
сравнительно с самими элементами. Переходный слой будет тогда заменен
вихревым слоем, заданным во всякой точке 8 равенствами:
Теперь можно написать скорости в какой-нибудь точке жидкости внутри
сосуда, пользуясь вычислениями предыдущего параграфа. Мы имеем для
функций Р, Q, В (см. выше):
где тройной интеграл распространен: 1) на объем V, занятый вихрями в
сосуде, и 2) на переходный слой. В этом последнем имеем: d~.' = вdo, где
da элемент поверхности 8; следовательно:
далее заканчиваем рассуждение как и выше. Но скорости (м, v, w) во всей
жидкости известны не только в функции вихрей внутри сосуда, но в функции
также скоростей на стенке (%, w]).
Само собой разумеется, по найденным таким образом значениям Р, Q, В
получаем и, г, w во всей жидкости из соотношений:
^ ду дг в
dw dv
= ¦- (T"i - • • •
2sY = - ри>" ...
V
т. е., взяв величину V на 8
v
дВ dQ
что дает для них выражения вида:
-Ь*1.
где As, B1r С\ происходят от поверхностных интегралов в выражениях Р, Q,
В. Вихрь в точке (ж, //, .г) должен быть равен (s, т|: С), отсюда
следует, что слагаемые Bv С\ должны давать вне S вихрь, равный нулю.
Следовательно, вне поверхности S, Av С\ получаются из потенциала <р:
л и п - д!?
1 дх ' 1 ду' 1 дг '
и мы будем иметь Д<р = 0, в силу уравнения непрерывности. Хотя эти
формулы, дающие ", v, го, требуют знания скоростей на стенках, мы теперь
покажем, что можно предварительным решением уравнения Фредгольма получить
формулы, дающие скорость и, v, го по всей жидкости в функции одних только
вихрей для всякого момента t. Мы начнем с рассмотрения задачи для случая
двух измерений.
Решение общей задачи в случае двух измерений для сосуда, находящегося в
заданном движении. Мы будем предполагать, что в двухмерной задаче нам
заданы в момент 1.: 1° вихри, 2° состояние скоростей сосуда, содержащего
жидкость и целиком ею заполненного; при этих условиях состояние скоростей
в момент t полностью определено. Нахождение их зависит от решения
интегрального уравнения Фредгольма второго рода.1 Здесь вихрь сводится к
одной своей составляющей
r 1 / до ди\
2 \дх ду)'
Высказанная теорема значительно более точная, чем та, которая касалась
неподвижного сосуда в прошлом параграфе. Мы не имеем здесь надобности
знать скорости жидкости на стенках, известно только, что эти скорости
каса'тельны к стенкам и что нормальная скорость в какой-нибудь точке
стенки равна нормальной составляющей скорости перемещения последней.
Естественно предвидеть, что здесь, где рассматриваются только две
координаты вместо трех, логарифмические потенциалы будут mutatis mutandis
играть роль, которую в трех измерениях играют потенциалы массовые.
1 См. Biriceland, Comptes rendus, t. 162, Juin 1916, p. 973; t. 163, Aout
1916,
p. 200.
Приняв это, мы изложим наш результат синтетически следующим образом.
Введем нижеследующие интегралы, в которых А будет обозначать площадь
сосуда и С его контур:
А А
["' = V (•'" - :г-У + (у - tff ], Лг - j" {$%' - av') ]g -i- ds':
с S
О)
А
<S'a - J (м'я -)- t-'P) lg -i- ds'; с
(2)
а и p обозначают направляющие косинусы нормали, внешней к сооуду
(односвязному ради простоты изложения), контур С сосуда обходится в
прямом направлении. Так как речь идет о носжимаемой жидкости, то
расхождение скорости все время равно нулю и, следовательно, Sx постоянно
равно нулю.
В написанных интегралах нет ничего существенно нового; функции Rx и Л2 те
