Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Вюлля Г. -> "Теория вихрей " -> 5

Теория вихрей - Вюлля Г.

Вюлля Г. Теория вихрей — М.: ОНТИ, 1936. — 266 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyavihrey1936.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 < 5 > 6 7 8 9 10 11 .. 66 >> Следующая

плотности:
i Цх', у', /,
Положим:
r = V (*' - ж')2+(у - уУ+(* - *02'
rft' = dx'dy'dz'.
Мы удовлетворим уравнению для Р, ноложив:
и также
Любопытно, что эти три функции сами до себе удовлетворят тогда уравнению:
* = **+*+'* О.
дх ду дг
Доказательство разбивается на две части в зависимости от того, находится
ли точка (х, у, г) в вихревой области или нет:
1°. Точка (х,у,г) лежит внутри вихревой трубки, т. е. в пространстве,
занятом фиктивной массой, производящей потенциал. Пусть S поверхность,
ограничивающая эту массу, V ее объем (рис. 4). Как известно, имеем:
?--?//'*+?///
К V
Следовательно:
"Г + РУ + уГ
* -й// +^±lL * +
+kfff №+№)*¦
Это же выражение равно нулю, так как а?' -{- rpt{ уV == О на S, в виду
того, что вихрь касателен к поверхности. Далее, внутри объема V имеем:
E. + *L 4- 9il = o
дх' ' ду' ^ дг'
Следовательно, М равно нулю во всем V.
2°. 1Густь (х, у, г) находится вне вихревой масоы, Р, Q, Я, будучи
потенциалами, имеют первые производные, всюду непрерывные и обращающиеся
в нуль на бесконечности. М, следовательно, всюду непрерывно. Оно равно
нулю внутри V, следовательно, в силу непрерывности, равно нулю и на
поверхности S; кроме того оно обращается в нуль на бесконечности. Более
того: М допускает первые и вторые производные вне F; наконец, это
гармоническая функция вне V,
ДЛ/'==^Д./,-|- .,.=0.
Следовательно, М = 0 во всем внеишек пространстве, что и требова-лооь
доказать.
Окончательные формулы. Получаем, следовательно:
к/ / / (" ду ~~т, V' • ¦ ¦
т. е.
г
Из формул
Й1 Р
получаются обратно формулы:
, 3tc Зг
оу~а,
В самом деле, напишем, как п выше:
Так как
__Ъ11 _dQ
ду дг ' да дх ' дх ду '
ЯР+Щ ал
дх Зг/-* дг '
то получаем:
Otv dv д / dQ , д/{ \ 32Р З2/'
3// дг дх \ ду ' дг) dip дг2 '
В силу формулы
1Ч,Штл-
v
плотность в выражении потенциала Р равна ; теорема Пуассона

дает нам внутри вихревого объема:
dw di: "
1у~~дз~ '
dw дн ду дг
во внешней пространстве.
Этн формулы можно нересказать в следующем виде: всяким элементом dx'
вносится в выражении скорости точки Р слагаемое, равное скорости W,
которую имела бы эта точка в силу вращения (?', if,
Скорость, происходящая от бесконечно тонкого кольца. Вся совокупность
вихрей может быть разделена на бесконечно тонкие кольца, имеющие каждое
некоторую интенсивность. Возьмем о,дно ив этих колец. Элемент объема dx
мы можем записать dx' = dads, где ds - длина ЛВ, взятая вдоль трубки, a
da - ее сечение (рис. 5), Вращение 2 от этого элемента dx касательно к
кольцу и скорость W, от него происходящая, равна QyfPP'(PP'- расстояние
от 1' до 2). Она направлена перпендикулярно плоскости (Р, 2) и имеет
напра-
Вектор А', происходящий от всего кольца, равен геометрической сумме всех
векторов Н.
Электромагнитная аналогия. Заменим кольцо проводником, но которому течет
ток интенсивности J, циркулирующий в том же направлении или в обратном
тому, которое указано для вихрей, согласно принятому расположению
координатных осей. Поместим в Р магнитный полюс единичной массы. Действие
тока на полюс Р получится kids sin (в
из сложения векторов -----, перпендикулярных плоскости (Р, ds),
причем >. постоянная, зависящая от выбора единиц. Будет иметь место
тождественность, если выбереь /
Эта электромагнитная аналогия или непосредственное вычисление показывает,
что вектор К происходит от силовой функции
где В означает телесный угол, под которым видна из точки Р площадь
фиктивной поверхности S, проходящей через вихревое кольцо.
вление, зависящее от вращения 2. Вводя угол <э (между 2 и г), имеем:
Вектор Н, представляющий добавочную часть скорости точки Р, происходящую
от dx', будет тогда:
Так как интенсивность I = 2Qda,
то
Рис. 5.
Ради точности надо рассматривать 0 положительным или отрицательным в
зависимости от того, какая из двух сторон поверхности S видна из точки Р.
Которую из двух сторон поверхности 8 следует рассматривать как
положительную, мы определим, заметив, что (при I > О) U и 0 изменяются в
одном смысле. Вектор К направлен со стороны U, а следовательно и Ь,
возрастающих. Если точка Р вблизи поверхности 8 находится с положительной
стороны, то 6 возрастает, когда приближаются к поверхности, и скорость Р
направлена к поверхности. Беря же Р на Л', внутри кольца, мы увидим
непосредственно по ориентации вихрей О вдоль кольца, в каком направлении
вращения 2 стремятся переместить точку Р. Следовательно, мы будем знать
сторону S, которую надо рассматривать как положительную.
Случай жидкости, содержащейся: в неподвижном сосуде.
На поверхности (стенке) 8 скорость касательна к стенке.
Этот случай может быть сведен к случаю неограниченной жидкости
посредством следующего приема: можно вообразить все пространство, внешнее
к ^занятым покоящейся жидкостью. Но тогда мы будем иметь разрыв скорости
на S для жидкости, сделавшейся неограниченной. Такие разрывы, будучи
тангенциальными, приемлемы, как это почти очевидно a priori и, как мы в
этом удостоверимся позже, при рассмотрении более общей теоремы.
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 < 5 > 6 7 8 9 10 11 .. 66 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed