Теория вихрей - Вюлля Г.
Скачать (прямая ссылка):
трубку, циркуляция не обязательно равна нулю. Она сохраняет одинаковое
значение для различных замкнутых линий, один раз охватывающих трубку.
Достаточно, в самом деле, записать, что полная циркуляция
двух вихревых поверхностей.
Рис. 2.
Рис. 3.
будет тогда
I = 2 Qdo,
Ode = Gjdcj,
а с другой стороны, сохранение массы дает:
pZdo - р jZjdoj,
остается постоянным.
Ив всего предшествующего следует, что движущаяся жидкость состоит: 1) ив
области, где нет вихрей, - области, которая перемещается и, может быть,
деформируется во времени, но никогда не содержит вихрей, и 2) ив вихревой
области, составленной ив вихревых нитей, обладающих описанными выше
свойствами.
В невихревой области можно положить
Если линия L, ввятая в невихревой области, может быть стянута в точку
непрерывной деформацией, не выходя ив этой области, то циркуляция равна
нулю и 9 принимает то же аначение после полного обхода линии L.
В самом деле, на поверхности S, проходящей через линию, при ее
деформации, имеем всюду 9 = 0, и, следовательно:
Далее видим, что соответственно порядку связности объема, занятого
невихревою жидкостью, функция 9 может быть однозначна или обладать одной
или многими циклическими постоянными, соответственно обходу тех или иных
поверхностей (например, имеющих форму кольца). Мы не будем
останавливаться на этом вопросе, а перейдем к основной вадаче.
и циркуляция вдоль замкнутой линии L будет:
SL
ГЛАВА II
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТЕЙ ПО ЗАДАННЫМ ВИХРЯМ.
Вычисление скоростей в функции данных вихрей в жидкости.
Если скорости предположить известными всюду в момент времени t, то
совершенно ясно, что мы непосредственно узнаем вихри. Обратно,
предположим известными вихри. Можно ли вычислить скорости? Мы будем
считать, что речь идет о несжимаемой жидкости, которую можем предположить
как неограниченной, так и заключенной внутри сосуда, покоящегося или
движущегося. Жидкость тогда состоит из вихревых трубок или колец, в
которых функции (;, Tj, Q отличны от нуля и которые окружены частицами
жидкости без вихрей, т. е. где Е, т), С равны нулю; функции ($, i\, Q,
следовательно, вообще говоря,-разрывны в области, занятой жидкостью в
целом. Мы будем предполагать сосуд односвязным и заполненным жидкостью.
Задача будет тогда такова. Предположим, например, сосуд нено-движным;
надо найти (и, г, "/¦), зная, что:
1° всюду
dw dv ди dw п dv ди
Ту-Ц-21' = Ж-? С;
величины ?, % ? известны, причем в некоторых областях могут обращаться в
нуль;
2° всюду
ди . dv . dw____
Их ly"^"dF~ '
3° на стенках сосуда скорость тангенциальна, т. е.
аи -(- рг- -j- ftr = О,
где а, р, ¦; - направляющие косинусы внешней нормали к стенке. Если
жидкость неограниченная, будем предполагать, что она на бесконечности
покоится:
и - v = w - О.
Естественно, из первых трех уравнений вытекает условие:
дх ^ ду + дг '
что легко проверить.
Задача будет иметь единственное решение для односвяз-ного сосуда. Так,
согласно 1°, разность двух решений будет иметь потенциал (c),
9(c)
дг
Согласно 2°, имеем Д(c) = 0, и, согласно 3°, = 0 на поверхности
сосуда.
Далее, вследствие односвязнооти сосуда видим, что
равен нулю вдоль всякой замкнутой кривой внутри сосуда,
а потому ф однозначна. Тогда ф не иначе как постоянная и,
следовательно: Это будет иметь место и в том случае,
9(c) 9(c) 9(c) *
когда сосуд неограничен, ибо тогда ~, - на бесконечности
дх ду дг
нуди,а<рфункция однозначная и гармопическая,равная постоянной.
(В многосвязной области для получения решения надо задать модули или
циклические постоянные для тех замкнутых кривых, которые не стягиваются в
одну точку внутри сосуда)
Неограниченная жидкость. Предположим (и, v, w) и (;, tq, С) на
бесконечности равными нулю. Жидкость тогда разобьется на вихревые кольца,
подвижные в безвихревой жидкой массе. Сразу видно, что всегда можно три
функции (", г, ?г), удовлетворяющие условию
ди , 9 г , dw
дх ' ду ' 9," представить в виде вихря:
. - ¦-dJl-iL!± - >lCl __ д?.
ду д,г ' дг дх ' дх ду
Это почти очевидно и хорошо известно. Сначала можно найти частное
решение, где /?, = 0; тогда можно положить:
1\ = j г (яг, у, г) (1:\
и далее
Л = - f иЛг-\-'Ъ (.г, у),
О,
"о
и остается лишь проверить, удовлетворится ли третье уравнение, т. е.
го
я" So So
д<1> , №
+ -ёJ = te (г, //. -) - W (.с, I/. ,r0) -j- .
или
Но ничто не мешает выбрать произвольную функцию <1> так, чтобы di>(x,y)
-- = к{х,у,*").
Но если (Р, Q, ft) общее решение, то
д{И-Я,) _ djQ-Q,)
ду дг ~ ""
и
Р=Р -Н ...
1 9ж
следовательно, имеем бесчисленное множество решений. Принимая за (", г,
tv) выражения указанного выше вида, будем иметь из уравнений 1°:
¦ f>Hj дЧ1.
ду'1 9г2 дяс ду дх дг
Этим уравнениям можно удовлетворить, положив:
Д/'=_25, Дф = - 2г[, ДР = -2С,
, 9Р=()
Эл; ду ' дг
Но, как мы знаем, потенциал притяжения V при плотности р удовлетворяет
везде уравнению Пуассона
ДГ= -4*р,
уравнению, которое сводится к A V = о вне притягивающих масс. Будем,
следовательно, ассоциировать с вихревыми кольцами притягивающую материю
