Теория вихрей - Вюлля Г.
Скачать (прямая ссылка):
в начальный момент покоилась.
[Обозначая потенциал скоростей через <р, если он существует, легко видим,
что уравнения Эйлера сводятся к одному следующему:
а уравнение неразрывности примет вид
Т л+Лт_0-
или, когда речь идет о неожимаемой жидкости,
Дщ = 0].
Формулы Коши. Обобщение. Теорему Лагранжа можно также доказать методом,
принадлежащим Коши, исходя из ненреобразованных уравнений Эйлера:
du " 1 др
dt р дх ''''
Мы будем предполагать все время существование функции Q, причем
-х-W.
р-ркр)> х-дх> dt, ~ дх'~
уравнения, которые выражают, что ускорения зависят только от
потенциальной функции Q (х, у, s, t).
Положим для краткости
, du
и образуем имеем:
?0 _ 9Q дх 8Q ду dQ де_ __ Ъх_ , dt)_ , , dt_
да дх да ду да дг да да да да
Исключим Q, написав:
д_
да
имеем:
/?i\_
\дЬ) дЬ \да) '
D (и1, х) . В (г/, у) . I) (м/, г) _
~Г л с., "л Т" п /" /,ч
B(a,b) 1 D(a,b) 1 B(a,b)
Но очевидные формулы:
d I ди \
It [Ж}'" '
dw' да
ди d
да dt
и элементарные правила диференцирования определителей позволяют далее
заключить, что
d \ D (и, х)~\ В (и', х)
Г D (", х) ]
L D(a,b)\
dtlD(a,b)i B(a,b) '' "'
так что предшествующее уравнение просто выражает, что величина
Р(и,х) . В (г, у) Г) (tv, а)
В (а, Ъ) ' В (а, Ъ) В (а, V)
не зависит от t.
Но при t = t0 имеем:
х - a, у-Ъ, 8 -с, и = "0, v = v0, w = wu, и, следовательно:
В (и, х) , В {у, у) В{ю,8) Ъс0 ди0 пг
( ) В {а, Ъ) ' В (а, Ъ) ^ В {а, Ь) да дЪ
°'
Получив этот результат, вернемся к старым обозначениям посредством
производных по х, у, г от (и, v, го). Имеем такие формулы:
ди ди дх_ , ди ду . ди дг
да дх да ' ду да дг да ' ' ' ' '
отсюда имеем:
В (и, х) ди В (х, у) . ди В (8, х)
2>(а,Ъ) ду В(а,Ъ)~' дз D(atb)'"'
и, следовательно,
В (у, z)
2 С,
В (а.
г, г) ( dw до \ , В (г, х) I ди dtv \ ,
, 6) \ ду дг ) D (я, 6) \ дг дх ) '
-D (х, У)
В(а;
у ) / д о ди \ Щ\дх~ ду)'
т. е. будем иметь три следующих уравнения, из которых первые д
доказываются точно так же, как и предшествующее:
ч,У) Е
т-г* = Со"
_е Я (у,*) ЩЪ,с) D(e,z) 1 4 D(b.c) 4-с-
t D {У, г) В (с, а) />(,,,) г 4 D(c, a) 4-с
t 1>{у,г) В (я, 6) , "В (г, х) ' Г| 2? (а, *6) -К
В (а?, У)
D (с, я)
Щх1у1_
D (я, b)
Будем иметь формулы более простые, если решим предыдущие ура нения
относительно ?, ц, С и положим:
. В (х, у, г)
В (я, Ъ, с)
Получаем следующие три уравнения Коши:
. , f дх . дх , " дх
да "^7|° 36 дс '¦ "
Так как Д = ~, то очевидна связь между этими уравнениями Коши
и уравнениями Гельмгольда, именно: уравнения Коши дают интегралы
уравнений Гельмгольца, что не трудно проверить непосредственно.
В случае жидкостей (р = const) имеем Д = 1, в эти уравнения приводятся к
, дх дх . , дх
Уравнения Коши можно истолковать иным образом. Рассмотрим выражение
Е - ndx -j- vdy -{- wdz - (tfyla -j- v0 db -j- w0dc),
где t будем рассматривать как постоянное, а (х, у, г) будут функциями от
(я, 6, с, О соответственно движению жидкости. Имеем:
Е
а уравнение (А) стр. 9 обозначает, очевидно, что Е является полным
диференциалом F, т. е. существует функция /•'(я, Ъ, с, 0 такая, что
Е = dF (а, Ъ, с, t).
В частности, при I = /0 все три коэфициента в Е обращаются в нули и,
следовательно, при I =10, F сводится в постоянной, не зависящей от (а, Ъ,
с).
Отсюда опять легко получить теорему Лагранжа. В самом деле:
E = dF.
Если в момент t0 существует потенциал скоростей, т. е.
u0da -j- v0db -]- wadc = drf("
то
udx -j- vdy -|- wds = d (/•'-)- <?0),
что овначает, что F + ?0 будет потенциалом скоростей для момента t, что и
требуется доказать.
Обобщенно формул Коши для случая, когда внешние силы не имеют потенциала
(Friedmann, С. R. Acad. Sc. 63, 1916, p. 219). Ограничимся случаем
несжимаемой жидкости (р = const) и предположим, что внешние силы не имеют
потенциала (ни теорема Гельмгольца, ни теорема Лагранжа не будут
существовать; именно, неконсервативные силы, вместе с трением, будут
причиной несохранения вихря).
Но мы сможем заменить уравнения Коши и Гельмгольца другими, несколько
отличающимися, ив которых и будем исходить.
Имеем уравнения движения:
И' = Х----
р дх
они выражают, очевидно, что
("' - X) dx -j- (*/ - Y)dy-\ (tv' - Z)dz
является полным диференциалом в момент t как для переменных (ж. У, я),
так и для (я, Ъ, с). Рассматривая его относительно этих последних
переменных и полагая:
a==x? + y%L+z%-,
да да да
в~хШ+у1я + гЖ'
получаем тогда, что
является полным диференциалом. То же будет иметь место, если вовьмем
интеграл по t:
t
и
Положа"
t
Аг = J Adt
to
и заметим, что можно написать следующие равенства:
ta
Оледовательво, откидывая явный диференциал
t
(I j --(vP + vV-j-w^dt,
it
мы видим, что выражение
(* -b4)~gf"'b w~da W° ^') - ¦ - )db-\-(.. ,)dc
является полным диференциалом относительно а, Ъ, с.
Но это в точности тот же результат, ив которого мы исходили в
предшествующем параграфе, с той лишь разницей, что и0, "0, w0 теперь
заменены на u0-\-Ai, v0 -f- Bv w0 -j- Cv Далее, нолагая
- dCi dBi
