Теория вихрей - Вюлля Г.
Скачать (прямая ссылка):
же, которые фигурируют в выражении функции R прошлого
параграфа, только -i- заменено на lg - .
Далее, очевидные интеграции по частям дадут:
г гНс'"^) а(*'^) I />е1'
1 J J \ дх' dt/ + dt/
А
= J J U' -ЩГ J M "
и, следовательно,
f • 1 1 ,1
cl lg- ft lg -
lt =
"1!l+*2==ff[ *' ~w~ ~l' ) d(3)
A
и также
9lg---
Заметим теперь, что г зависит от х' и у' только через разности х - х', у
- у'. С другой стороны мы знаем, что логарифмические потенциалы имеют
частные производные первых двух порядков, из которых первая может быть
получена простым диференцированием под знаком интеграла, что не будет
иметь места для производной второго порядка. Мы можем, следовательно,
написать:
ду
dS
дх
№
дЦ2
II
do'-
do'-
92 дх ду
К - - <Ь\
Э2 дх2
do'.
Мы будем иметь затем:
дВ
ду ' дх
lK - do', г
и также получим:
дВ
дх
д$
ду
lg - do'.
(5)
(5а)
Если точка (с, у) находится в области л, то дщ заключаем, в силу
известных свойств логарифмического потенциала:
2 т. и (х 2~с(х
U); >J):
д_В dS ду дх'
dS
~ду'
сш
дх
(6)
причем правые части будут равны нулю, если (.с, у) находится вне А.
" дп , дк " г,
оаметим, что мы имеем ^ Т ^7/ =' так как гармоническая функция,
регулярная внутри А.
Если, наконец, мы поместим точку (х, у) в положение т па границе С, то
классическое рассуждение, изолирующее точку т, с помощью малой
полуокружности, дает вместо (6) следующие уравнения:
/дВ , dS\
(dS дВ\ *V(tm)-\dy 'dfjf
(7)
допуская, во всяком случае, что контур С имеет вполне определенную
касательную, единственную во всякой точке т.
Мы допустим, что имеем все время дело с несжимаемой жидкостью
ди dv______
'дх' ду '
в которой вихрь С известен. Мы знаем также нормальную скорость на стенке,
т. е. выражение Vn = ш -{- г>3 во всякой точке С. Если бы мы знали также
касательную скорость F, = = "t> - р", то четыре функции It. s, Л2, Slt
<S2 были бы известны, и формулы (6) нам дали бы скорость (и, v) во всякой
точке области А. Но мы в состоянии доказать следующую теорему.
Теорема. Наличие перечисленных выше данных позволяет вычислить
тангенциальную скорость Vt, как решение уравнения Фредгольма.
В самом деле, образуем выражение V, в точке т, контура, пользуясь
уравнениями (7) и предполагая сперва, что нормальная скорость F" равна
нулю во всякой точке контура С. При этих условиях будем иметь:
Рис. 6.
dll
дх
¦)т ?\дх^ду)
(8)
Предположение, что Vn нулю; так как расхождение инеем:
равно нулю, сводит равно нулю и так
здесь S к Sv т. е. к как вихрь задан, то
В "В,- f (V/) lg j-
штрих указывает, что Vt рассматривается в точке т\ принадлежащей С, в
соседстве с которой элемент дуги есть ds.
Уравнение (8) дает, следовательно:
*-4/ >-'',4*+4/ г',,!тл (9)
4-
Но если мы обозначим через а,, ^ направляющие косинусы отрезка тт' (рис.
6)
х' - х 0 у' - у а1 > Pi------Z I
то будем иметь:
dig- , 0 lg -- "
Г _ Xr X я1 г _ ?1
дх га г ' ду г '
и, следовательно:
" i J V'lg f1ds+ ¦Р 4 / v' ,g 7ds " f Vf <""*+m ds-
<! С О
Пусть ? угол между mm' и нормалью тп; уравнение (9) запишется:
(Щ (.0)
с
Мы имеем, следовательно, окончательно для V, интегральное уравнение
классического вида. Интегрирование этого уравнения позволит нам узнать
F,. Далее, будем иметь и я v по формулам (6) внутри А.
Но доказательство предполагало, что V" равно нулю. Теперь легко
отделаться от этого ограничения. В самом деле, если дана (на С) величина
V" = aw -\- рг, то возможно, и при том бесчисленным числом способов,
определить вектор (и0, е0) во всей области А, включая и контур, такой,
что на С будем иметь:
*Ч + Н=К-
Например, можно было бы взять в качестве и0, v0 скорость во всякой точке,
совпадающую со скоростью площадки А, предполагаемой твердой и увлекаемой
заданным движением сосуда; положим тогда:
М = И00=se0-}-f;j;
снабдим также F" и Vt индексами 0 или 1, в зависимости от их соответствия
векторам ("¦", v0) или (uv Имеем, в силу нашего выбора;
(ИД-О, F" = (FJ0 (11)
^¦=(П)о + (ИЛ (12)
После этого уравнение (8) должно быть заменено следующим:
*(F,)o + *(F,),= /[(Оо + (1г/)1]°°-^ +
С
, д8 adS
Посмотрим, что сделается с функцией S. iSl будет все время нулем, и на
основании (11) будем иметь:
г 1
и мы получим окончательно для определения (К/), уравнение Фредгольма:
где правая часть полностью известна на С. Совокупность двух иослед-
Из этого уравнения получаем (F,), и, следовательно, само (Vt) на
основании (12), откуда следуют те же заключения, что и выше.
Заметим, что если жидкость заключена в сосуд неподвижный, будем иметь Vn
- 0 и, непосредственно, применяется уравнение (10).
Замечание I. Введение функций В ж S позволяет легко определить в жидкости
линии тока для каждого момента.
В самом деле, комбинация
является аналитической функцией от (х-\-гу) и, если мы положим:
Заметим, что функция Л - Q является однозначной в А, хотя могло бы
показаться, что это не так, в силу многозначности арктан-
с
с
о
с
а
них членов легко представить
а
то ясно, что классические формулы
