Квантовая физика твердого тела. - Вонсовский С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Обсудим здесь важный вопрос, касающийся различия между когерентным и некогерентным рассеянием на решетке. Предположим, что мы рассматриваем сплав, в котором в /-м узле с вероятностью х находится атом
102
сорта А и с вероятностью 1 — х — атом сорта В. Тогда вместо (2.126) для потенциала взаимодействия рассеиваемой частицы с кристаллом будем иметь
V(r) = 2 [17, иА (г - г,) + (1 - 17/) ив(г-г/)], (2.188)
/
где r\j= 1, если в узле j находится атом сорта А, и 7?/ = 0 - если атом сорта В. Повторяя весь вывод 2.7.1, получим вместо (2.139)
dwk-k 1 1
+ о
* —г / dt ехр icjt X
dvk, (2тг)6 h -оо
X 2 (ехр ( iqrj(t)) ехр iqrf ) {|и,»(<7)12х
/7'
X П/П,- + и л (Я) ив(я) (1 -17/) 17/' + иЛ (Ч) X
X vb(q) Т7/С1 17/') + \ vb(Q) I2 (1 —i7/)(l - 17/')} (2.189)
(для нейтронов роль компонентов сплава могут играть просто изотопы, ибо в отличие от рентгеновских лучей нейтроны взаимодействуют в основном с ядрами). Усредним теперь формулу (2.189) по распределению атомов в решетке. Считая, что они распределены хаотически и независимо,
получим ____
VJrjJ' = (17/')2 = х2 при j Ф /', г)} = г)/ = х,
т.е.
17/17/' = х[8ц' + (1 - 5 j/') х ] = х2 + Sj/'xil х), (2.190)
(1 --i7/)(l - 17/') = (1 x2) + 8/j' x(l x). 17/(1 - 17, ) =
= (1 -5//-)jc(1 - *)•
Усредним теперь члены в фигурной скобке в (2.189):
I и a (я) I2 W + »а (Я) vb(q) (1 - 17/) 17/' + vA (Я) »в (я) 4/(1 - V /) +
+ 1^в(<7)12 (1 — 17/)(1 17/') = |*и,,(<7) + (1 *)М<7)12 +
+ 5//-дс(1 x)\vA(q) - vB(q)\2. (2.191)
Первый член описывает точно такие же процессы рассеяния, как в идеальном кристалле, с заменой v(q)~*xvA(q) + (1 x)vB(q)\ второй член содержит 5//' , поэтому в выражении для .сечения рассеяния вместо
2 ехр ik(Rj - Rf) будет стоять 2 5//< ехр ik(Rj - Rj') = N.
//' //'
Вероятность упругого рассеяния вместо (2.139), (2.186) дается выражением
dwk^k' 2п8(ш)
---— ехр (—2 Wg)X
упр (27r)t,h‘
+ (1 - x)vB(q)\2 N2 2 5qb> + I vA(q) - vB(q){2 N ]. (2.192) g *
103
Второе слагаемое в квадратных скобках в (2.192), специфическое для частично неупорядоченного кристалла, отлично от нуля при любых углах рассеяния, а не только при определяемых условием (2.187). Оно описывает так называемые процессы некогерентного рассеяния, создающие фон, на котором выделяют острые пики когерентного рассеяния (в направлениях рассеяния, определяемых условием (2.187), их интенсивность в уУраз больше интенсивности фона). Реальное соотношение интенсивностей фона и пиков (и ширина последних) определяется разрешающей способностью аппаратуры.
2. 7.5. Пеупругое рассеяние
Рассмотрим теперь член си = 1 в разложении (2.183). Соответствующий вкладе S(q,u>) по (2.164), (2.183)— (2.185) равен
Sx(q, и>) = ЛУ(2эт)~5 exp(-2w<?) Б Е (h(q\2l2mu>kls, ) X
я
Х[( + 1)б*1,&/б(ш + ш*1*1) + Л'*1*1б*1>*,*б(ш )].
(2.193)
Первый член в квадратной скобке описывает процессы неупругого рассеяния с со = -со* (Si, т.е,
Ч' - е* = (2.194)
что соответствует, очевидно, процессу рождения (испускания) фонона в состоянии к] S]. При этом закон сохранения импульса выполняется с точностью до произвольного вектора обратной решетки:
к' - к - кх + Ь* (2.195)
(сравните качественное обсуждение фонон-фононных столкновений в п. 2.4.3). Второй член в квадратных скобках в (2.193) описывает процессы поглощения фонона в состоянии kt, st, при этом отношение вероятности испускания к вероятности поглощения (выведенное Эйнштейном в 1917 году для фотонов) равно
(Vk>Sl + 1)/^,,,.
Аналогично можно показать, что члены с п = 2, 3, ... в (2.183) описывают процессы с участием двух, трех,..., п фононов. Вероятность много-фононных процессов, как можно показать, будет мала при выполнении неравенства
q2r\ < 1, (2.196)
где г0 — характерная амплитуда колебаний решетки. Из рис. 2.19 видно, что
\к-к'\ = (к2 +к'2 2кк'сosi?)‘/2= [(*-*')2 + Ш' sin2 (tf/2)]I/2.(2.l97)
В случае рассеяния света
ек = h кс= hco, ek, = bk'c = ho/
(с — скорость света), и для процесса рождения (уничтожения) фонона с 104
частотой cji и волновым вектором qi получаем, согласно (2.194), (2.195) и (2.197),
