Квантовая физика твердого тела. - Вонсовский С.В.
Скачать (прямая ссылка):
В этой формуле свойства кристалла характеризуются величиной S (q, ы), которая, таким образом, непосредственно измеряется на опыте по рассеянию микрочастиц (ван Хов, 1954). Величина <n(r, t)n(r') ) называется корреляционной функцией плотности, а функция S (q, ы), которая является се фурье-образом по пространственным и временной переменным, называется динамическим формфактором.
Величина
+ ” с/ы
S (?) = / -----S(q,u>) = (n_qnq) (2.140)
—00 2 гг
называется структурным фактором1, статическим формфактором и иногда просто формфактором, характеризует взаимное положение ионов в кристаллической решетке (см. также (1.45)). Обращая преобразование Фурье, находим
<п(г)п(г’)> = / (2я)'’ S (<7)ехр iq(r - r)dq. (2.141)
Итак, опыты по рассеянию дают исчерпывающую информацию о структуре кристалла. Ниже мы убедимся, что фактор S (q, ы) содержит также полное описание фононного спектра, однико прежде надо показать, как работать с фононными операторами и вычислять средние (2.137) с оператором р из (2.136), который можно выразить через гамильтониан кристалла.
2.7.2. Некоторые свойства,фононных операторов и содержащих их средних
Прежде всего нам необходимо выразить смещение М/ (?) через фононные опера-
Л /\
торы 6', Ь аналогично тому, как эго было сделано в 2.2.4 для линейной цепочки; в этих переменных гамильтониан примет особенно простой вид. Затем надо определить, как эти операторы в гейзенберговском представлении зависят от времени, так как в nq(t) входят, согласно (2.129), (2.127), операторы м; (П. После этого надо выяснить, как вычислять в данной задаче средние (2.137), и тогда мы сможем найти динамический формфактор кристалла.
Л А Л
Для линейной цепочки связь М/ с hr и b дается формулами (2.47), (2.51) и (2.52). Находя из (2.5 1), (2.5 2) uq и .'/q и подставляя их в (2.47), находим
V Xj2i X (h/2mu>q) 1/2 Q
Для трехмерного кристалла, как и для линейной цепочки, также возможно пред
u/=,V llli'?,(bl2mb>q)4l(bq--bt_q)cxp(iql). (2.142)
(I
1 При получении формулы (2.140) использовано соотношение (1/2 я) | dte\pUtjt)=
= Л (С).
ставление его колебаний в гармоническом приближении через совокупность независимых осцилляторов, характеризующихся числами v = q,s, где q- волновой вектор, I = 1, 2,. . ., Зо - номер ветви, о - число атомов (ионов) на элементарную ячейку (см. 2.2.3). Довольно очевидно, что при этом можно ввести операторы b*v, bv, которые удовлетворяют коммутационным соотношениям типа (2.53)
[bv,b\' = IVVL= *VL = 0 (2.143)
А А
и связаны с гамильтонианом Jf и вектором смещений Uj аналогично (2.54) и (2.142): Н = ? hejv( b„ bv + —^ = Ea + Z heо vbv bv, (2.144)
v \ 2/ v
Uj = i 2 (h/27Vm w v) l,2ev (bqs - b J^iiS) exp (iqRj), (2.145)
V
где ev - соответствующий собственный вектор матрицы G (2.42), нормированный на единицу |е„| = 1 (он называется вектором поляризации). Так как мы считаем, что решетка состоит из одинаковых атомов (ионов), ms = m не зависит от s. Вывод
формул (2.143) - (2.145), которые записаны по аналогии с линейной цепочкой, не
составляет труда (представляем читателю сделать это самостоятельно). Важнее научиться работать с подобными гамильтонианами и операторами. Они возникают в самых разных задачах теории твердого тела, казалось бы. не имеющих никакого отношения к динамике решетки (см. гл. 5).
Сначала вычислим
Ь» (t) = ехр(/ Ж f/h )b? ехр (- i К f/h ). (2.146)
Алл А А А А
Так как, согласно (2.143) ,b\ bv') = 0, [b*vbv, b*, ?,/)_ =0 при v Ф v', полу-
чаем
Л ^ m *"1 л \ л
Ь? (Г) =ехр — 2 h ш v’bv' Ь»' ехр(/ ш vt bt bv) X
\h и'Фи )
Л ЛЛ / * ^ _ Л л \
X bt exp(-iu>vtbi ft„)exp-------2. h ш v< b*v< bv< =
\ h v Ф v )
(‘t у лл \ / *^ л л \
= exp — bLJv> b*v'bv> exp-2. hu>v'b*v'bv' X
\h v’*v J \ h v *v /