Квантовая физика твердого тела. - Вонсовский С.В.
Скачать (прямая ссылка):
« = о п\ »=о(2//)!'---;------
4 7 2п
+ “ 1 (2 //)! , „ „ + 00 1/1 ,
= 2--------------- <С2ХС2>...<С2> = 2 — -<С2> =
п = о (2/?)! и!2 --------------’ и = о //! ' 2 /
4 7 Л
= exp^y<C2)j. (2.173)
Мы учли здесь, что <С2,,+ | > = 0, а число всевозможных способов, которыми можно разбить на пары 2п одинаковых предметов, получается из полного числа, перестановка (2п)! делением на число перестановок пар //! и на число перестановок предметов в каждой паре 2”.
Подставляя (2.173) в (2.172), находим
< ехр/<7 [и, - -Uj (г)] > = ехр 2 [h/2 mN(uksuks) V3 ] х
2 кк•
ss'
X (Qeks)(qek s )( [ (ехр(/ kRj1 ) - ехр(/kRj -iukst)) X *bks - (exp(ikRj’) - exp(ikRj + iojksO)b+-ks] x X [(ехрО'Аг'Лу) - exp(ik'Rj -/со*у))6*у ~ (exp (ik'Rf) -
- exp(ik'Rj + iuk-s-0)b+-k's'] >} =
= exp [- 2 [h/2 mNuks] \ qeks | 2 (2Nks + 1) X
ks
X [1 cos^t*, -*, . ) .+ u*,0]}- (2174)
100
Здесь мы учли соотношения
</>*,?„->= (exp0 haj„ - 1Г1 6,,,
<MV> = (1 +Л’1,)51.„- , < А„Л„* > = < = 0. (2.175)
з также четность функций сoks, \qeks \ 2, заменив в части членов к на -А. Наконец, учитывая (2.174). (2.165), (2.166), найдем
<ехр( -iqUj (/) )ехр(/qu,' ))¦ = ехр{ I (h 1^**1 2/2 ш У o>ks) X
ks
X [ (2 Л *5 + 1) (1 - cos П"к1) - i sin П"кs J}.
где
nks =k(Ri' - Ri ) +
Формулу (2.176) можно также представить в виде
(2.176)
(2.177)
, . - , ¦ - , I v fl 1Чек* I 2
< ехр[- iqUj (/)] ехр(/</И/' )> =ехр(-2 и(/)ехр 2,----------------- х
iks 2»iNuks
X [(A'ti + 1)ехр(/П^) + Д'Л1ехр(- i Г2"^)] |. (2.178)
Множитель ехр( 2wq), где
Wq = I (ti| qeks | 2l2in\'GJks)(,\ks + -
ks \ 2
называется фактором Дебая-Уоллера. Прямым вычислением можно показать (предоставляем это читателю), что
2 wq =< (<?й/)2> .
Вычислим Wq в модели Дебая (при а = 1). При этом
(2.179)
(2.180)
1
3 N ks
(см. § 2.3) и, согласно (2.179),
_ 3 hq2 r 1
VQ ~
3 hq2 г 1
------- J с/сосо — +
ты;, о L 2
1
3 h 2q2
ехр hojlkBT) - 1 Т \2 °п/т xdx
1 / Т \ "n'' xdx -I
4 + \0п) о ev-lJ’
2 mkBeD
где мы ввели новую переменную х = hco/&B7\ При Т < вп
3 h2q2 8 mkBeD
1 +
ш
(2.181)
(2.182)
при Т>вп
Wq=3h2q2T/2kBe2^
(здесь использована формула / xdx/(ex - 1) = тг2/Ь).
о
101
Перейдем теперь к обсуждению физического смысла полученных результатов.
2. 7.4. Упругое рассеяние
Представим второй сомножитель в (2.178) в виде ряда
< ехр [— iquj (г)]ехр(/</«, -)> = ехр(-2 wq) X
X S 2 ... 2 (h| qekiSyi2mNukiSi) ...
tj — О /2 . А» j 5 j ^п
+ l)exp[i*i (Rj ’ -Л, ) + /?о*_,/] +
+ 'v*. j, exp [г к, (Rj - Rj' ) + / со *, i^ J J
¦ ¦ ¦ (NknSn + ‘)exP [‘kn(Ri - Ri' ) +‘^knSnt] +
+ ^*„^[ехр[-гЛл(Л/-/г/' )-»co*nJnr]]. (2.183)
Согласно формуле (2.164), необходимо выполнить интегрирование по t и суммирование по/,/'. При этом
+ ос
/ dt ехр/Ш = 2 я б (?2), (2.184)
стАг = 2 ехр/*(/{,¦-Л ' ) = 'V2? 8к>ь., (2.185)
/7 ’ * *
где Ья' — векторы обратной решетки (см. гл. 1, формулы (1.39) и (1.22)). Соотношение (2.185) можно доказать так:
ак = 2 ехр ik(Rj -Rj> +R/) = ехр (/ЛЛ/ )ст*
¦ • г //
(где Л/ — произвольный вектор прямой решетки), поэтому ак = 0, если ехр i kR/Ф 1. Если же ехр ikRt = 1, т.е. к равен какому-либо вектору обратной решетки, то ак = N2. Подставляя (2.183) в (2.164) с учетом
(2.184), найдем, что член с п = 0 дает вклад в S (q, со), пропорциональ-
ный б (со) = б((еЛ- - e*)/h). Таким образом, этот член описывает упругое рассеяние (т.е. рассеяние без изменения энергии). Соответствующий вклад в S (q, со) равен
¦Synpto.w) = [Л7(2 я)3]22 яб(со)? 6^ ь* ехр(- 2 н^). (2.186)
g g
Последний сомножитель — фактор Дебая - Уоллера — определяет, согласно (2.181) и (2.182). температурную зависимость интенсивности упругого рассеяния. Последнее, согласно (2,186), происходит только в определенных направлениях, определяемых соотношением q = bg, т.е.
к' = Ь; + к, ек=ек, (2.187)
которое, как показано в гл. 1, эквивалентно условию Вульфа—Брегга (1.40),
