Квантовая физика твердого тела. - Вонсовский С.В.
Скачать (прямая ссылка):
li 2 - “ h
х 1dvk', (2.1 25)
где E, с - энергии соответствующих состояний кристалла и нейтрона, dvk' - дифференциал плотности конечных состояний нейтрона. Представим V в виде
I' = 2 и(г-#7), (2.126)
/
где
г j = Rj + uj (2.127)
- координаты /-го иона, Rj - его положение равновесия, иу - вектор смещения. При этом считается для простоты, что все ионы в решетке одинаковы и вид функции u(r- г j) не зависит от /. Подставляя (2.124) и (2.126) в матричный элемент V, находим
< *п*к'\ П С/* > = dr
= 2 f ------ < I и (г - г, )схр|/ (к - к') (г - #•; + Гу ) I | *1 > =
/ ' (2Я)3
1
= ----- 2 < Ч> „ I схр( - I g#7 ) I Ч>/ > ив =-¦ < 4- „ I Пп \ * I > Vg, (2.128)
(2я3) у
здесь введены вектор рассеяния q = к’ - к и обозначения
va = jdR и (Л)ехр ( -iqR), п„ = ---------- 2 ехр (-/ qr; ).
(2л)3 у
Оператор Пд есть фурье-компонента оператора плотности ионов в кристалле
n(r) = Z 6 (г-rj), Пд = ((2тг)'3 )l dr п(г )ехр (-/qr ). (2.129)
/
Далее воспользуемся тождеством
cxpf- (Еп - Ei )/]< ) =
l-h ^
= < „ | ехр(/ Ж t/h )nqcxp (-1 Jf//h ) I Ф / > “ < * n I nq (t) I */>, (2.130)
Л
где ]( - гамильтониан кристалла, Пд (t) - гайзенберговское представление оператора пя (см. цитированную монографию Ландау, Лифшииа), и мы учли, что 3fl4'm> = = Ь'т I 4- т) .
1 См. также Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика, т. 111. Квантовая механика (нерелятивистская теория). - М.: Наука, 1974, § 41.
93
Подставляя (2.128), (2.130) в (2.125), найдем 1 °°
dPlk^nk* =— ! dt expO'wOK'l',,\пд{0\*1)\2 \vq\2 dv., =
h 2 — оо
I w oo
= — ! dt f dt' exp i u> U -Г')(ф(|п_д(()|фл) X
—OO oo
x < Ф „ I nq (f') | * ,> I Vg 12dvk\ (2.131)
1
где введено обозначение u> = — (e- cfc) и расписан квадрат модуля матричного
h
элемента с учетом легко проверяемого соотношения
Непосредственно наблюдаемой является вероятность перехода в единицу времени, просуммированная по всем конечным состояниям кристалла (при этом, в силу условия полноты, 1|ФЛ)(Ф„| = 1) и усредненная с функцией распределения Гиббса л
Р1 по начальным состояниям:
1
Р1 = — ехр(-рЕ/), р=(/сБТ)~\ Z = Б ехр(-рЕ„). (2.132)
Z "
Эта вероятность, согласно (2.131), равна
|ичГ 1 +т/2
dwk^ic'= lim ------- — / dt X
т-юо h2 п I г —т/2
+т/2
X / dt' ехр I u>(t - t')( * / | л -(f) I * „) < * „ I nq (t‘ ) | *, )dvndvil' =
-r/2
I vq\ 1 +T/2 +T/2
= lim ------ f dt f dt' exp i u>(t - t') (n _q (t)nq (t’))dvil! =
т hJ —r/2 —r/2
1«,Г +“
= ------ J df exp (/cj f) ( n _q(t)nq) dv^', (2.133)
h 2 — “
где введены обозначения
( Л ) = Е</ | Л I /) Pi (2.134)
I
для величин, усредненных по каноническому ансамблю, и учтено, что, в силу однородности времени,
< (t)nq(t')) = (n_q{t - t')nq ) . (2.135)
Соотношение (2.135) проще всего доказагь, введя оператор 1
р =—exp(-gK) (2.136)
Z
с собственными значениями (2.132); тогда (2.134) запишется в виде
< А > = SpW р). (2.137)
При этом
Sp(n_q(t)nq(t')exp(- р .К)) = Sp(exp(i Kt/ti ) X X п _^ехр (- I X t/h )ехр (/ К t'/h )nqexp (- i JCt'/h )ехр (- р К)) =
94
= Sp[exp (/ Jf t/h )n_qcxp (- i -If (t - ?') /h )nqcxp (- (3 Jf)exp (- /' Jf ?’/h ) I =
= Sp[exp(-/' Jf ?'/h)cxp ( / Jf t/h)n _qcxp (- / Jf (? - /fi )nq exp (- (3 30 |,
что и доказывает (2.135) (здесь использованы известные тождества ехр (а/4) ехр ((3/4)= = ехр ((3/4)ехр (а/4) = ехр (а + (3)/4, где а, (3 - с-числа, и свойства шпура Sp/liS = SpjS/4). Мы подробно разобрали это тождество, ибо ниже придется выполнить аналогичные преобразования, например при доказательстве теоремы Вика в 2.7.2. Введем обозначение
+ оо
S(q,cj)= / dtcxpfi ы l)<n_q(t)nq). (2.138)
Тогда (2.133) запишется в ьиде
dwk ->к'№“к' - \ vq \ * S (q, ы) /h*. (2.139)
