Квантовая физика твердого тела. - Вонсовский С.В.
Скачать (прямая ссылка):
106
Ео~Г Ео+Г ?g + R ?o + R
Рис. 2.21. [Естественная ширина линии поглощения или испускания без учета отдачи ядра (в); влияние эффекта отдачи при R Г на вероятность резонансного поглощения (6).
ным с кристаллом. Итак, нам нужно определить вероятность вылета гамма-кванта без отдачи из ядра в кристалле.
Предположим, что кристалл находился сначала в квантовом состоянии |/>. Вероятность для ядра / иметь значение импульса hk равна при этом
Щ = I < Л [ / > [2 = I / drj ехр (-ikrj)l(2n)3/2 X
X Ф,(г,........./у...../>) |2 , (2.201)
где <Л[/> - коэффициенты разложения волновой функции |/> по плоским волнам |Л>сг = г/- (см. (2.123)):
|/> = 2 |*><* |/>. (2.202) к
После испускания гамма-кванта с импульсом
h q = Е0/с, (2.203)
вследствие закона сохранения импульса должно быть щ ~+ Щ-q, и, следовательно, конечное состояние |/> должно иметь вид
|/> = 2 [к -q)(k [D = ехр (-if/y) X к
X 2 I к > (к I / > = ехр (-iqr) \ 1 >, (2.2Q4)
*
где мы воспользовались очевидным свойством
I k-q) = ехр (-iqr/) |Л>
и условием полноты 2 [к)(к I = 1. Конечное состояние |/>должно быть раз-к
ложено по собственным состояниям ядра |и>, и вероятность перехода / -»и при испускании гамма-кванта равна
Р^п = Кл1/>|2= Кп I exp(-iqrt) I/>12. (2.205)
Если интенсивность испускаемого гамма-кванта в зависимости от его энергии Е равна /0(Е) (рис. 2.21, а), то интенсивность гамма-кванта, испускаемого при переходе / -»п, будет 10(Е + Е„ - Et) (так, чтобы положение максимума сместилось, в соответствии с законом сохранения энергии, на
ДЕ = Е„ - Е{). Полная интенсивность, после усреднения по начальным со-
107
стояниям и суммирования по конечным, имеет вид
1(E) = I l0(E + Еп - Et) |<и Iехр(-iqrj) 1/>12 • р,. (2.206)
nl
Разложим /0(?'+ Еп - Et) в интеграл Фурье:
l0(E + Еп - Et) = / dt(2nh)~x ехр ^ -(Е+ Еп - E,)jl0(t) . (2.207)
Подставляя (2.207) в (2.206) и выполняя точно такие же преобразования, как при переходе от (2.124) к (2.133), найдем
1(E) = 2 / dt(2nh)~l ехр (-iEt/h) /0(0 Pi X
Ш -оо
X < / I ехр (iE/t/h) ехр(iqrj) ехр(~iE„ f/h) | п ) X
+ ос
X (п I ехр (iqrj) | / > = / dt(2nh)~x ехр (-iEt/h) X
_ оо
X /0(0<ехр (-iqrj(t)) ехр (iqrj)) =
+ оо
= / dt(2irh)~i exp(-iEtfh) I0(t)(exp (-iquj(t)) ехр (iqUj)). (2.208)
Входящее в (2.208) среднее уже было вычислено нами (см. (2.183)). Подставляя (2.183) в (2.208) и учитывая (2.207), мы видим, что член с п = 0 в (2.183) дает член с/0(Е) в (2.208) (т.е. неизмененную линию), а члены с и = 1, 2, . . . дают линии, смещенные на со,, 2cj, , w, ± oj2 и тд. Таким образом, интенсивность несмещенной (мёссбауэровской) линии равна
/М(Е) = ехр (-2wq) /„(?), (2.209)
т.е. определяется фактором Дебая—Уоллера. Согласно (2.181) и (2.182), с понижением температуры 1щ(Е) растет (ибо wq уменьшается).
Мы уже говорили о том, что естественная ширина ядерных уровней очень мала, поэтому возможность наблюдать неуширенную линию дает возможность для очень точных измерений различных величин. Предположим, например, что электронная структура кристалла-передатчика и кристалла-приемника несколько различна (различен, скажем, характер химических связей или магнитного состояния электронов). За счет взаимодействия электронов с ядром (ответственного за сверхтонкую структуру атомных спектров) смещаются энергетические уровни ядра — очень незначительно по ядерным масштабам, но тем не менее это смещение может быть много больше, чем ширина Г, которая также очень мала. Тогда резонанс расстроится, и интенсивность мёссбауэровских сигналов будет очень мала. Резонанс может быть восстановлен за счет эффекта Допплера: если двигать источник относительно поглотителя со скоростью v, частота гамма кванта сдвинется на
ДЕ = Е0 v/c, (2.210)
и этот сдвиг может скомпенсировать сдвиг ядерных уровней за счет взаимодействия с электронами уже при очень небольших v. Изменяя интенсив-108
ноеть поглощения, можно измерить поля, наведенные электронами на ядре, что позволяет получить очень важную информацию об электронной структуре1. Точность метода настолько велика, что позволила даже наблюдать в земных условиях эффект гравитационного смещения частоты электромагнитного излучения, предсказанный общей теорией относительности.
§ 2.8. Заключение
Теория кристаллической решетки является в некоторых отношениях прообразом теории твердого тела вообще. Здесь можно выделить следующие основные моменты.
1. Введение фононов. Поразительно, что от рассмотрения системы сколь-угодно сильно взаимодействующих атомов в кристалле можно почти строго перейти к рассмотрению идеального газа фононов. Единственным необходимым условием (помимо периодичности) является малость амплитуды колебаний (квантовых и тепловых) по сравнению с постоянной решетки.
