Квантовая физика твердого тела. - Вонсовский С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Ь , или Ъ,. Аналогично
Sp((/1,, Aj ] А. . . Aj + i- ¦ Ап р = ]А,. Aj ]_ <Aj . . . А\ \Aj +i . A„ ) =
= [l-exp(±(3htj,)](/l,/l,)(/l,.../l „iAj + i . . . An) . (2.162)
Подставляя (2.161), (2.162) в (2.160), пс 1учим
(А,А2.. . Ап) = (А,А, ) Мj.. . Ап) (А,А3 >(А,А,.. . А„) + . ..
... + <А tAn) (А2А3 . (2.163)
Средние, входящие в (2.163), можно и дальше преобразовывать таким же образом: (A,A,A3A4 )=<,А,Аг )<,АЪА, ) + (А^А^^АЛ^* (А^А^Ы^А,) и т.д.
В результате мы получили, что среднее типа (2.163) (при четном п) равно сумме всех произведений средних от пар операторов, входящих в произведение At, Л2, . . . . . . , Ап, причем операторы в каждой паре берутся в том же порядке, что и в исходном произведении. При нечетном п можно аналогично показать, что (AtAt ... Ап) = 0 (так как (/!,•> = 0). Нетрудно сообразить, что сформулированные утверждения справедливы и в том случае, если Aj - произвольные линейные комбинации операторов bJ, bv. Полученный результат (обычно называемый теоремой Вика) был доказан Ц. Виком для усреднения по основному состоянию, а К. Блохом и Ч. дс Доминиси-сом - для канонического ансамбля. В основном здесь использовались два обстоятельства:
Л Л
1) что коммутатор двух любых операторов b*, b естьс-число;
Л Л
2) что куммутатор любого оператора Ь*, Ъ с гамильтонианом есть этот же самый оператор (с точностью до множителя i h ui), следствием чего являются свойства (2.156), (2.157). При учете ангармонических членов в гамильтониане это несправедливо, и теорема Вика уже не имеет места.
Теперь мы подготовлены к вычислению динамического формфактора, научившись попутно некоторым приемам работы с операторами, которыми будем широко пользоваться в гл. 5.
1 Здесь мы следуем изложению Тябликова С.В. Методы квантовой теории магнетизма. - М.: Наука, 1965.
98
2. 7.3. Вычисление динамического формфактора в гармоническом приближении
Будем считать, что кристалл описывается гармоническим гамильтонианом (2.144). Нам надо вычислить величину
+ сю
S (q, со) = (2я)“6 / dt ехр(/'<оО X
X ? < ехр( — iqUj (t))exp(iqUj:))exp(iq(Rj' - Л, )) (2.164)
. . #
а
(мы подставили (2.127), (2.129) в (2.138)). Прежде всего удобно представить выражение, стоящее под знаком среднего в П. 164), в виде экспоненты некоторого оператора (если [А, В]_ Ф 0, то е е8 Ф еЛ+в). Найдем коммутатор операторов —iqtij (О и iqUj’. Подставляя (2.154) и используя (2.143), получим
[- / qu. (г), iqiij • ]_ = — ? ---------------— X
N kk‘ 2m(cjkscjk's')'/*
SS
Xexpi(kRj + k'Rj’) (qeks) (qekv ) [?**exp(- iu>kst) -
exp(z'co**/), **y b-k’s I- =
= — ? h/(2w»)'' (<о*^ <o*y) '/* exp [/ (kRj + k' R-i )] (qeks) (qek у) X
N kk
SS
X [5*. _*’6M-exp(— / cokst) -6*',_*6„' exp(/<o* st) ] =
= — ? (fi/2<o**)exp [/ k (Rj — Rj') ]. | qeks | 2 X N ks
X [exp(-/<0**0 _ exp(iu>kst)\ (2.165)
(мы воспользовались соотношением e_k s = eks, которое может быть получено из исследования свойств матрицы G). Коммутатор интересующих нас операторов есть с-число. В этом случае имеет место соотношение
1
ехр А ехр В = ехр(Л +5)ехр— [А, В\_ (2.166)
Доказать его можно так: введем оператор
S (\) = ехр(-ХЛ)ехрХ(Л + В). (2.167)
Тогда
dS (X)/d X = - ехр(- Х/1)/1ехр Х(Л + В) +
+ ехр (— \А) (А + В) ехр Х(/1 + В) - ехр (— X А )В ехр \ (А + В) =
= ехр (— X А )В ехр( X A )S (X). (2.168)
В свою очередь d
— ехр(- Х/1)5ехр(Х/1) = - [А, В\. , d X
99
т.е.
ехр (— ХЛ )5ехр (X А ) = В - X [А, В\. . (2.169)
Подставляя (2.169) в (2.168), получим
dS (\)/J \ = {В - Х[Л,Я]_}5(Х). (2.170)
Решение уравнения (2.170) записывается в виде 1
.9(1) = ехр [ / d \(В - X [А, В]. ) ] = ехр В ехр(— Vi[A, В\.) (2.171)
о
(возможность применять обычный метод решения дифференциальных уравнений к (2.170) связана с тем, что [А, В], есть с-число и может быть доказана примерно так же, как и формула (2.151)).
Таким образом, нам осталось найти
< ехр/?[«,-• -Uj (Г)] > = <ехр{ 2 (\\12Ути>к5)'/2 (qeks) X
ks
X I (ехр(ikRj • ) - exp(ikRj - iиkst))bks - (exp(ikRj) --expOkRj + ioJkst))b^k,s]} > = < exp C> . (2.172)
Оператор, стоящий в показателе экспоненты, есть линейная комбинация
А А
операторов b, b , поэтому для него применима теорема Вика:
+ oo 1 + о= 1
< ехр С) = 2 —<С"> = 2 ------------<СС...С> =
