Квантовая физика твердого тела. - Вонсовский С.В.
Скачать (прямая ссылка):
/ М \ /1 1 \ Е
P = neU 1 +— )=пе2 - +— —------------------г . (2.113)
\ ml \М m / со0 — со
90
Рис. 2.17. Схематическая зависимость вещественной е ' и мнимой е" частей диэлектрической проницаемости от частоты и>.
Диэлектрическая проницаемость e(w) определяется (по (2,109)) формулами
D = e(uj)E или Р = [e(w) - 1 \El4n. (2.114)
Сравнивая (2.113) и (2.114), находим
e(w) = 1 + со2 1(шо — ш2). (2.115)
Здесь введено обозначение
\М т )
со2 = 4mie2 [ — +—). (2.116)
Схематически зависимость e(w) показана сплошной линией на рис. 2.17, а. Выражение для е(и>) неприменимо вблизи со0, где е(а>) -> °°. Учет силы трения (2.103) приводит к замене w2 -»¦ ш2 + iyui (см. §2.5). Тогда для вещественной и мнимой частей e(w) = e'(w) +/e"(w) (рис.2.17) получаем
e'M=l+W2(^-W2)/l(^-W2)2 +72со21,
e"(w) = уШи,/[(wo “ w2 )2 + 72 w2 ].
Максимум поглощения (определяемого e"(w))1 при малых у приходится на частоту оптического фонона и>0 (что, собственно, и оправдывает само название).
Как известно из электродинамики сплошных сред, в системе могут распространяться продольные (L) и поперечные (Т) электромагнитные волны, частоты их определяются уравнениями (при 7 = 0)
e(w/J = 0, =(а>р + а>о)|/2, (2.118)
ш2те(шт)!е2 ~Ц2> c2f/2 = [1 + w2/(wt’ - w2)]. (2.119)
‘См., например. Силин В.П., РухадзеЛ.Л. Электромагнитные свойства плазмы и плазмоподобных сред. - М.: Атомиздат, 1961.
91
а) б) в) 1
Рис. 2.18. а) Законы дисперсии фотона (прямая /) и оптического фонона (прямая 2); б) Законы дисперсии двух ветвей поперечных волн (кривые / и 2), возникших в результате гибридизации, и одной ветви продольной волны (прямая 3).
Частота продольных волн получилась не зависящей от q в силу пренебрежения тепловым движением ионов. При выключении взаимодействия решетки с электромагнитным полем (е -> 0) уравнение (2.119) дает решения (рис. 2.18, а)
оJo, u7-cq, (2.120)
описывающие невзаимодействующие фотон и оптический фонон. Взаимодействие приводит к смешиванию (гибридизации) мод (рис. 2.18, б). При мы имеем из (2.119) обычное решение
wj=cq/n0 (2.121)
для фотона в преломляющей среде с показателем преломления
«О =(1 + «’/w8)!'2. (2.122)
При и>>и>0 решетка не успевает среагировать на изменение электромагнитного поля, и п0 ->¦ п„ = 1. Нетрудно увидеть также, что максимальная частота нижней ветви поперечных колебаний (достигаемая при q ->00) равна ш0, а минимальная частота верхней ветви (достигаемая при q =0) совпадает с (кривые / и 2 рис. 2.18, б). Имеет место характерное соотношение (рис. 2.18, в)
(u>l/oj0)2 =(n0/n~f =e(0)/e(°°), (2.123)
где мы не заменяем е (°°) на единицу, так как в нее может давать вклад поляризуемость самих ионных остовов (в этом смысле со - “означает и>0 ^ и><и>е, где и>е — характерная частота колебаний электронов в атомах: и>е ~ 1015 -г 1016с-1, в то время как и>0 ~ 1012 -i- 101 Зс-1).
§ 2.7. Рассеяние на решетке н эффект Мёссбауэра
2.7.1. Вероятность рассеяния и корреляционная функция
Свойства решетки можно исследовать с помощью макроскопических величин: теплоемкости, скоростей звука, коэффициентов теплового расширения и т.п. Получаемая таким образом информация дает, однако, далеко не полное представление об основных микроскопических характеристиках кристалла (структура, фононный спектр и т.д.). Универсальным методом их непосредственного исследования, как будет показано далее, является рассеяние каких-либо микрочастиц - нейтронов, электронов, фотонов, т.е. световых и рентгеновских лучей. Далее для определенности
92
будем говорить о рассеянии нейтронов (для света в более элементарной форме об этом уже шла речь в § 1.5).
Пусть в начальный момент времени кристалл находится в состоянии I Ф / >, а свободный нейтрон имеет волновой вектор к и, следовательно, волновую функцию
Фк(г) = (2я) 3/Jехр(/кг ) (2.124)
(нормированную на 6-функцию). В результате взаимодействия нейтрона с кристаллом последний переходит в состояние IФ , а первый - в состояние | Фк< > . Вероятность такого процесса Р/к^пк' можно вычислить по нестационарной квантовомеханической теории возмущений 1 (см. § 1.5), если считать, что потенциал взаимодействия нейтрона с кристаллом Г мал по сравнению с характерными энергиями
возбуждений:
1+оо /
dplk^nk’ = — / dt ехр — (?„ - ?', + е к' - ek)t X
