Квантовая физика твердого тела. - Вонсовский С.В.
Скачать (прямая ссылка):
п jd
(d/2я) / dq U(q) = C Ф0. (2.99)
-n/d
Тогда из (2.96) немедленно получаем
U(q) = и2 AC/(cj2q-со2), (2.100)
njd
(со2с/Д/2я) / (со2 -cj2)'1dq= 1 (2.101)
— 7л {d
Вводя обозначение со2 =4а?22/ю, qd=x, перепишем (2.101) в виде
(?22 Д/2я) / [sin2 (х/2) — ?22 ]”’ dx — 1. (2.102)
- П
При решении уравнения (2.102) при ?22 < 1 возникает трудность, связан-88
ная с неинтегрируемой расходимостью подынтегрального выражения при sin(.v/2) = ± Для устранения расходимости добавим в правую часть
(2.93) силу трения (пропорциональную скорости смещения)
/; = — утй, = шути,. (2.103)
Это приводит к замене oj2 -» gj2 + iwy или J22 ->J22 + /?2т? (ri=y(4a/m)~^2). Затем нужно устремить т) к нулю и воспользоваться тождеством 1
dx
/---------- =fdx/y(x) + iTifdx5[y(x)], (2.104)
V(x)-iti п-,+0
где / обозначает интеграл в смысле главного значения. Вычисление дает
1 ” dx 1
X In
2тгЛ sin2 jc/2 — Г22 2тгП(1 - ft2)'12 tg(x/2)-fi(l -П2Г1/2
+ Я
= 0, (2.105а)
tgCv/2) + Г2(1 -ft2 Г1/2 (//2) /" c/jcft(sin2 лг/2-fi2) = //fi(l -ft2)1/2. (2.1056)
- Я
Здесь предполагается, что Г22 < 1. Подставляя (2.105) в (2.102), находим /ПД/(1 -fi2)1/2 = 1, S22 =(1 - Д2)-1, (2.106)
что противоречит исходному предположению 2 < 1. Значит, мы должны искать решение уравнения (2.102) только при Г22 > 1. При этом интеграл в (2.102) легко вычислить, и мы получаем
(1/2тг) 7 [sin2 (лг/2) — П2 ]-1 с/л: = — l/ft(ft2 - 1)1/2,
- Я
АП +(П2 - 1)1/2 =0.
При Д > 0 это уравнение не имеет решений, при Д < 0 (т.е. для 6ojjee легкого изотопа)
П = (1-Д2Г1/2. (2.107)
Таким образом, помимо решений с fi2 < 1, которые существовали в идеальном кристалле, возник отщепленный уровень с частотой = = wmax(l - Д2Г1/2 >wmax (wmax =2(a/m)1/2). Из формулы (2.101) следует, что U (q) при ш =gj0 нигде на вещественной оси не имеет особенностей (как функция q). При этом, как известно из теории рядов Фурье2, интеграл (2.94) для м, быстро убывает до нуля при / ~*°°. Таким образом,
(2.107) дает выражение для частоты локализованного фонона, т.е. такой
'См., например, Владимиров B.C. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1967.
2 См., например, Кудрявцев ЛЛ. Математический анализ. М.: Высшая школа, 1970, т. 2.
89
моды колебаний решетки, в которой смещения м, сосредоточены вблизи дефекта. Возможность существования таких типов колебаний является одной из важнейших особенностей спектра реального кристалла по сравнению с идеальным.
§ 2.6. Высокочастотная диэлектрическая проницаемость ионных кристаллов
В п. 2.2.2 было показано, что оптические колебания ионной решетки должны сильно взаимодействовать с электромагнитным полем. Очевидно, эта связь наиболее сильна при со ~ со+ ~ us/d (см. (2.33), (2.18)). Соответствующая длина волны (и частота со) электромагнитного поля X = = 2пс/ш ~ (c/vs) 2nd >d (с — скорость света), поэтому с высокой степенью точности можно положить волновой вектор фотона равным нулю. т.е. считать электрическое поле Е однородным.
Рассмотрим двухионную линейную цепочку с ионами массы М и зарядом + е и ионы массы т с зарядом -е. Тогда уравнения движения примут вид (см. (2.25))
MU = — 2аШ - и) + еЕ ехр (- /со/),
(2.108)
ти = - 2а(и - U) - еЕ ехр (- /со/),
где, в соответствии со сказанным, положено q - 0; это соответствует сотах (см. (2.33)). По известной формуле электродинамики
Е = I) — 4ттР, (2.109)
где D — электрическая индукция, а
Р - ne(U - и) (2.110)
— вектор поляризации среды, п - число элементарных ячеек в единице объема. Первое слагаемое в (2.109) описывает поле, создаваемое внешними источниками, второе - дальнодействующую (кулоновскую) часть взаимодействия ионов, учитываемую в приближении среднего поля (в силу (2.109)), в то время как близкодействующая часть межионного взаимодействия описывается членом, содержащим а в (2.108). Ищем решение (2.108) в виде
U{t) = Ue и(/) = ис",ы'.
Складывая уравнения (2.108), находим
MU + mu = 0. (2.111)
Подставляя (2.111) в (2.108), получим
U = еЕ/М(ш1 — со2), (2.112)
где со0 определено в (2.33). Поляризация Р, согласно (2.110) и (2.112), равна