Квантовая физика твердого тела. - Вонсовский С.В.
Скачать (прямая ссылка):
1 Речь идет о неустранимых шумах в электронных устройствах, которые доказывают ’’атомарность” электричества подобно тому, как существование броуновского движения доказывает атомарность вещества.
114
Рис. 3.2. Распределение электронных скоростей в металле: Е = 0 (а) , Е Ф О (б).
О
Е = 0 а)
Е*0
В,)
рассматриваемой модели вводят еще одно жесткое приближение, рассматривая электроны как частицы, не взаимодействующие между собой. Эта одноэлектронная модель игнорирует электростатическое (кулоновское) отталкивание между электронами.
Все эти предположения естественны и, в известной мере, сохранились и в квантовых моделях металла. При учете сильной связи электронов с решеткой и между собой можно говорить об их эффективной индивидуализации в смысле упоминавшихся выше квазичастиц.
Перейдем теперь к количественным расчетам в рамках модели Друде. Начнем с оценки времени т , определив для этого удельную электропроводность а. Пусть вдоль проволоки металла приложено поле Е, действующее на электрон с силой еЕ, сообщающей ему ускорение а , равное
За время т между двумя последовательными ударами электроны получают добавочную среднюю скорость А\Е=ат /2 = еЕт /2т. Подставляя ее в формулу Лоренца, находим
Выражение (3.4) можно получить и иным образом. Рассмотрим уравнение движения электрона, на который кроме силы еЕх действует еще сила трения, пропорциональная его скорости 2 mfdx/dt, где / — коэффициент трения:
Решение этого уравнения при начальных условиях (dx/dt)t=0 =0 будет иметь вид
и = (еЕх т0)/2m [ 1 - ехр( - Г/т0)],
где т0 = /~1. Стационарное состояние достигается при значениях t, для которых выполняется неравенство ехр(—?/т0)< 1, и соответствующая скорость будет равна
v = еЕхт012т .
Отсюда, в силу (3.3), находим опять (3.4)
а = еЕ/т.
j = neAvE = пег т Е/2т = оЕ ; таким образом, удельная электропроводность равна а = пе2 т /2т.
(3.4)
(3.3)
dx
еЕх — 2 mf-----------.
dt
115
Таким образом, впервые был теоретически выведен закон Ома и выражение для а через атомные величины. Формула (3.4) позволяет дать количественную оценку т. Как показало дальнейшее развитие теории, (3.4) ближе к реальности, чем это может показаться на первый взгляд. Всякая теория, использующая представление о времени свободного пробега, должна приводить к формуле (3.4) для а уже из соображений размерности. В правую часть (3.4) входят три неизвестных величины: п, т ии (хотя при выводе m считали массой свободного электрона, но это не является обязательным, см. ниже), а уравнение для их определения по опытным данным для а всего одно. Поэтому определить их по отдельности нельзя. Из (3.4) лишь следует, что в области применимости закона Ома плотность п и время т не зависят от Е. Если еще принять, что п в металле практически не зависит от Т (в отличие от полупроводников) и соизмеримо с числом валентных электронов в единице объема металла, то (3.4) можно использовать
для оценки времени т .
Проведем эту оценку для чистого золота, считая его одновалентным. Используя значения п = 5,95 • 1022 см-3,е = 4,80- Ю~|0СГСЕ,т=9,10 • 10'28г и опытные данные для оАи, находим приведенные в табл. 3.1 значения
г при различных Т. Отсюда видно, что г возрастает на пять порядков величины при охлаждении от комнатной температуры до температуры жидкого гелия.
Для лучшего понимания, что это за время, сравним их с характерными электронными временами в атомах. Как известно, период обращения электрона по орбите в атоме тат ~ 10"|5с. Отсюда видно, что времена т совершенно иного порядка. При обычных температурах т больше тат в сто раз, а при низких время г приближается к средней продолжительности
жизни возбужденных атомных состояний (10"8 с). Это отличие т от тат обуславливает возможность протекания макротока в металле. Ток отсутствует в металлическом паре, где ускоряющее действие на атомный электрон длится не более 1СГ15 с, что связано с локализацией атомного электрона (~1(Г8 см).
Неравенство т > тат еще раз указывает на делокализацию электронов проводимости. Свободу их передвижения естественно охарактеризовать
средней длиной свободного пробега I — расстоянием, которое они прохо-
Таблица 3.1
Средние времена т и длины I свободного пробега 1
т, к 273,2 90,1 20,4 11,1 4,2
5,9 -КГ11 2,2-КГ13 9,8-КГ” 1,4-КГ10 6 - 1СГ*
/,см 5,9-КГ6 2,2 la5 9.8 ¦ Iff4 1,4-la2 6-10-'
1 Величина т определена по (3.4) из измерений удельной электропроводности золота, а / - по (3.5)¦
116
дят за время т. Это справедливо, конечно, лишь в квазиклассическом
приближении. Итак,7 = tv , v - средняя скорость электрона. На первый взгляд кажется, что для нее следует взять значения, полученные из формул классической статистики Максвелла — Больцмана. Однако (см. ниже) электроны проводимости подчиняются квантовой статистике Ферми — Дирака, их средняя скорость и слабо зависит от Т и близка к скорости электрона в атоме. Последнюю по боровской теории атома можно определить как скорость движения по орбите. Если период обращения тат — 1СГ15 с, длина орбиты 2 7глат ~ 1СГ7 см, то для и получаем ~108 см • с'1. По классической кинетической теории этой средней скорости соответствует температура Т = mv2/3kB * 9 104 К, т.е. около сотни тысяч градусов. Используя формулу
