Квантовая физика твердого тела. - Вонсовский С.В.
Скачать (прямая ссылка):
(4.363) получаем для кратности вырождения каждого уровня
dq(n,kz) V I е\ Н V
--------= ------— ----- =-------г , (4.366)
dkz (2 я) he (2 nlH)2
1 Приведенный выше стандартный вывод условия (4.361) относится лишь к уравнению Шредингера второго порядка по д/ду. Тем не менее оно справедливо и в более общем случае - см. Базъ А.И., Зельдович Я.Б., Переломов А.М. Рассеяние, реакции и распады в нерелятивистской квантовой механике. - М.: Наука, 1971, гл. 5, а также Маслов В.П., Федорюк М.В. Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики. - М.: Наука, 1976.
265
как для свободных электронов (см. (3.124)). Как мы видим, кратность вырождения не зависит от п, к..
Как отмечалось в 3.5.6, квантование движения в плоскости х, у приводит к характерным осцилляциям различных физических величин как функций/Г1 (например, магнитной восприимчивости — эффект де Гааза — ван Альфена, см. также 3.5.6). Плотность состояний на уровне Ферми имеет особенности при прохождении очередного квантового уровня Ландау через поверхность Ферми. Эти особенности, приводящие к осцилляциям,
Рис. 4.36. Экстремальные сечения поверхности Ферми.
проявляются, если расстояние между соседними уровнями Ландау больше теплового размазывания уровня Ферми и уширения самих уровней за счет столкновений:
Ьи>н>,кБТ,Ь1т. (4.367)
Неравенства (4.367) могут быть выполнены при низких температурах (порядка нескольких К) в чистых образцах и сильных магнитных полях (Н4 10s Э ~ 8 ' 106 А/м). Период осцилляций можно определить прямо из
(4.363):
Д (1/Я) = (2тгМ /Ьс) 1/5 (Еф, кг), (4.368)
так как именно при таком изменении магнитного поля номер уровня Ландау на поверхности Ферми изменяется на единицу.
Как и в случае циклотронного резонанса возникает вопрос, какие именно значения кг дают вклад в период осцилляций? По тем же причинам, что и там, вклад дают сечения поверхности Ферми с экстремальной площадью (рис. 4.36). В любом другом случае периоды осцилляций, связанные с сечениями кг и к:+Акг, различаются сравнительно сильно, и такие осцилляции в среднем гасят друг друга. Если же dS/dk, = 0, то эти периоды различаются на величину ~ (ДАг)2, т.е. осцилляции вблизи такой точки происходят ”в фазе” и усиливают друг друга.
Таким образом, исследование периода осцилляций восприимчивости или магнитного момента как функции Я-1 дает возможность определить площади экстремальных сечений поверхности Ферми в любом направлении.
Важная информация содержится и в величинах амплитуд осцилляций. В простейших случаях, когда поверхность Ферми имеет центр симметрии, а всякий луч, проведенный из центра, встречает поверхность лишь в одной точке, можно, исходя из знания периодов осцилляций при разумном направлении поля, однозначно восстановить форму ферми-поверхности. Температурная зависимость этих амплитуд дает возможность найти распределение скоростей на ферми-поверхности 1. Вообще говоря, т.е. для ферми-поверхности произвольной формы, изучение эффекта де Гааза —
1 См. Лифшиц И.М., Погорелое А?. - ДАН СССР, 1954, т. 96, с. 1143.
266
Рис. 4. 31. К выводу эффекта Шенберга.
ван Альфена недостаточно для однозначного определения энергетического спектра электронов вблизи поверхности Ферми. Используются для этого и циклотронный резонанс, и аномальный скин-эффект, и ультразвуковые измерения, и так называемые размерные эффекты в тонких металлических пластинках, помещенных в магнитное поле, изучение гальваномагнитных свойств, и аннигиляция позитронов. Мы не останавливается на этих очень важных вопросах из-за недостатка места, они подробно изложены в литературе 1. Отметим лишь, что для ’’затравки” при обработке опытных данных обычно используют поверхность Ферми, построенную в приближении почти свободных электронов (см. п. 4.5.4 и выше).
В заключение этого раздела упомянем об очень интересном эффекте появления магнитных фазовых переходов перйого рода в условиях сильных осцилляций восприимчивости (эффект Шенберга) 2. Дело в том, что необходимо учесть магнитное поле, действующее на электрон не только со стороны внешнего поля, но и со стороны всех остальных зарядов в металле. Так как характерный масштаб электронной орбиты гн велик по сравнению с периодом решетки, электрон чувствует среднее магнитное поле в среде, создаваемое всеми внешними и внутренними зарядами. Усредненная напряженность поля в среде есть магнитная индукция В. Таким образом, межэлектронное взаимодействие в эффекте де Гааза - ван Альфена может быть достаточно адекватно учтено заменой Н -+ В в формуле для намагниченности М (Я). При достаточно низких температурах зависимость М (Я) может быть очень резкой (это четко проявляется на простой двумерной модели эффекта де Гааза — ван Альфена, рассмотренной в 3.5 6). Следовательно, после произведенной замены Н-+ В очень резкой станет зависимость М (В). Это может привести к тому, что Н (В) перестанет быть монотонной функцией (хотя напряженность магнитного поля Я (В) выражается через магнитную индукцию обычным соотношением Я (В) = В — 4-пМ (В)\ рис. 4.37). Детальная теория эффекта де Гааза - ван-Альфена показывает, что при ОК в отсутствие процессов рассеяния амплитуда осцилляций М (В) ~ В~1'2 и ЭЯ/ЭЯ =1 -4ттдМ/дВ наверняка становится при достаточно малых В меньше нуля. Соответствующее условие имеет вид
