Квантовая физика твердого тела. - Вонсовский С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 4.32. Определение МГ-приближения.
251
и условию конечности при г = 0. Решение такой задачи существует и единственно при любом Е. Волновые функции, по которым идет разложение, в методе Слзтера выбираются в виде1
К0 “,/2 ехр [ / (к + й*д)г], г > г0
(4.294)
(*, г) =
Vo112 ? /' *№ */ (Г. Е) Ylm (в, *), /• < г0
1т
(присоединенные плоские волны, ППВ). Они, очевидно, удовлетворяют бпоховским граничным условиям. Коэффициенты определяются из условия непрерьшности функций при г= г0. Используя известное разложение плоской волны по шаровым функциям
ехр [/(* + Ь* )г] =4я Z /'/,( | k + bg I г) X
1т
X У,т (0, о) Y,* (flM, (4.295)
где /;— сферические функции Бесселя, 0M,vV — полярные углы вектора
к + Ь*е , находим
* м
*</;> =4jr/,(|* + I г0)Л71('-о. *0 С, (вм. *м)- (4-296)
Базисные функции (Л, г), к сожалению, не имеют непрерывной производной. Слэтер обошел зту трудность с помощью ’’вариационной идеологии”. Вариационный принцип (4.263) в ячейке Вигнера - Зейтца эквивалентен следующему:
5/ = 0,
/= — f dr\ Уф \2 + f dr ф* (г) [V (г) - Е] ф (г). (4.297)
2т п п
Для доказательства воспользуемся формулой Грина:
fdr^* (г) Аф (г) + \ Уф (г) I2 ] =
9 ф (г)
= ; dr V (ф* (г) V ф (Г)) - ; dS ф* (г) —!- , (4.298)
п Эл
где интегрирование ведется по границам ячейки, dS - элемент площади. В силу (4.261), как легко сообразить, интеграл в правой части (4.298) тождественно равен нулю, и функционал (4.297) совпадает с варьируемым в
(4.263). Последний, однако, не имеет смысла на классе функций, не имеющих непрерывной производной, ибо для них не существует Д ф (г). Что касается функционала (4.297), то он сохраняет смысл и для пробных функций с производной, разрывной при г=г0.Ищем Фк (г) в виде разложения
(4.264) по функциям (4.294) так, чтобы минимизировать / [(//]. Разобьем интегрирование в (4.297) на две области: г <г0 и г > г0. Воспользовавшись (4.298) по отношению к каждой из областей, получаем
h2 1
— Д + V(r)~E \ф (г) +
/ = / dr ф (г)
Г < »•„
2 т
1 Напоминаем, что V0 - объем элементарной ячейки. 252
+ / dr у* (г) [ - A + I (г) - /:'1 ф (г) +
r>r„ L 2 mi J
Г Э ф (r. 0,y) I
+ rlfdb}\4> (r0.O.y)----------—------|r=r<i_0 -
Э il/(r, 0, $)
- V/* (Го. о. *)-----\--------------------
Э r
где du> - элемент телесного угла. Первый член в (4.299) на классе функций
(4.294) обращается в нуль, в силу (4.293), во втором можно положить V(r) - 0. Подставляя в (4.299) ф(г) в виде ряда (4.264) и варьируя по сц , получаем систему линейных уравнений типа (4.265) и уравнение спектра в виде (4.267). Так как у нас базис разложения зависит от энергии Ь\ (4.267) не имеют вида обычной задачи на собственные значения. Этот недостаток компенсируется быстрой сходимостью метода, т.е. сравнительно небольшим порядком детерминанта, при котором уже получаются хорошие результаты.
Метод ППВ является идеологической основой некоторых других методов, использующих также МТ-приближение и отличающихся лишь характером сшивания решений при г = г0. Большой популярностью в последнее время пользуется метод функций Грина, или метод Корринга - Кона - Рос-токера (ККР), детально изложенный в цитированном обзоре Дж. Займана. Подробная библиография зонных расчетов конкретных соединений содержится в цитированной в 4.5.1 монографии Дж. Слзтера 1.
4.5.6. кр-теория возмущений
Все выше рассмотренные методы расчета энергетического спектра кристалла (кроме метода модельных псевдопотенциалов) используют лишь самые общие сведения о его свойствах: фактически только химический состав и кристаллическую структуру. Разумеется, при расчете делаются какие-то неконтролируемые приближения. Кроме того, все эти методы очень громоздки в вычислительном плане. По этим причинам для сравнительно простой интерпретации экспериментов очень часто и успешно используются эмпирические методы, позволяющие выразить спектр энергий через некоторые не вычисляемые, а определяемые из опыта параметры. Одним из важнейших таких методов является кр-теория возмущений в теории полупроводников.
Свойства последних определяются состояниями электронов вблизи дна полосы проводимости и дырок вблизи потолка валентной, ибо число носителей невелико. Таким образом, существенна только небольшая область ^-пространства.
