Квантовая физика твердого тела. - Вонсовский С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Предположим для определенности, что рассматриваются состояния вблизи дна полосы проводимости, которое само соответствует к = 0. Воспользуемся уравнением Шредингера с учетом блоховского вида
1 Методы расчетов в зонной модели также довольно детально рассмотрены в монографии: Каллоуэй Дж. Теория энергетической зонной структуры: Пер. с англ. / Под. ред.
С. В. Вонсовского. - М.: Мир, 1969.
(4.299)
253
функций (4.126):
Л 2
[ + V (г)1 и (к, г) ехр (/ к г) = Ей (к, г) ехр (ikr), (4.300)
L 2 т J
где р = - /h Д. Учитывая, что
р2 и (к, г) ехр (ikr) = ехр (ikr) [р2 + Ъ?к2 + 2hfcp] и (к, г), (4.301)
получаем из (4.300) и (4.301)
[р2/2т + V (г) + W(p,k)] и (к, г) = Ей (к, г),
W(p,k) = h2k2/2m + hkp/m. (4.302)
Предположим, что мы знаем решение (4.302) при к = 0: собственные функции (0,г) = Ф0( (г) и спектр (0). Будем рассматривать оператор W (р, к) как возмущение. С точностью до членов второго порядка по к получаем для интересующего нас состояния Еп (к) в предположении, что Ev (0) невырождено1,
Ev(k)*Ev(0) + h2 к212т +
* , Л
+ 2 к77i— 1г>|г/[М°)-М°)]; (4-303)
? * г) т
здесь введено обозначение
<77 м If > = /с?г ф*оп(г)А Фо{(г) (4.304)
А д
и учтено, что <J7lplf> = <flp!7?^ ¦ Формула (4.303) может быть представлена в виде
Ev(k) = Ev(0) +— 2 m*j~' ktkj, (4.305)
2 i,i=x,y,z
где
wT;' = m ' [8ц + m' 2 < 77 | Pi | f > < f | p, It? >/ [?„ (0) - Es (0)] +
+ <4lP/lf><f 1рНч>/[М0)-?> (0)]]- C4-306)
Сравнение (4.306) с (4.212) показывает, что и,*'1 - тензор обратных эффективных масс, определяющий ускоряющее действие электрического поля. Формула (4.306), как видно, для невырожденной зоны является точной. Она была впервые получена Зейтцем.
В полупроводниках щель G между дном полосы проводимости и потолком валентной (для простоты считаем,что он также достигается при к = 0 — так называемая прямая щель) сравнительно мала. Следовательно, соответствующий вклад, скажем, в т*х1 велик и положителен:
ЬтТх = (2/m2G) | < h \ рх \ е ) |г ~ h2/m2d2G> mx, (4.307)
где через < h \рх\е) обозначен матричный элемент рх между потолком
1 Члены первого порядка по к равны нулю, так как в точке минимума Е(к) имеем ЬЕ/ък = 0. См. также Ландау Л Л., Лифшиц ЕМ. Квантовая механика (нерелятивистская теория). - М.: Наука, 1974; § 38.
254
валентной полосы и дном полосы проводимости. Если по правилу отбора он не равен тождественно нулю (при этом одна из функций — p-типа, а другая — i-типа), то он может быть оценен как h/t/, где d — период решетки. Соотношение (4.307) объясняет, почему часто в полупроводниках эффективная масса электрона, проводимости много меньше массы свободного электрона, что и использовалось в 4.4.1.
Для вырожденной полосы энергия не имеет простой параболической формы (4.305). Она находится из решения секулярного уравнения, т.е. из теории возмущений для вырожденного уровня (см. цитированную в 4.4.1 монографию Цидильковского И.М.).
§ 4.6. Зонные электроны в магнитном поле
4.6.1. Эффективный гамильтониан
Одним из важнейших способов изучения энергетических спектров кристаллов является исследование их магнитных свойств. Строгая квантовая теория влияния магнитного поля на зонные состояния несравненно сложнее, чем для электрического (см. § 4.3), и не рассматривается здесь подробно 1. Кроме того, в большинстве случаев достаточно квазикласси-ческого приближения, к изложению которого мы и перейдем. Гамильтониан электрона в потенциальном поле V (г) и постоянном магнитном поле Я имеет вид
л 1 е
ЗС = —(—jhV - - А (г))2 + V (г), (4.308)
2т с
где А (г) — векторный потенциал, определяемый соотношением
H=rotA(r). (4.309)
Один из возможных выборов А для постоянного однородного магнитного поля Я таков:
л= а [Нг]. (4.3Ю)
Гамильтониан взаимодействия с магнитным полем неограничен (он содержит члены, пропорциональные г иг2), поэтому даже слабое поле Я резко перестраивает спектр электрона (как и в случае электрического поля, см. § 4.3). Для электрического поля, однако, на возможность наблюдения эффектов перестройки жесткое ограничение накладывают столкновения (неравенство t0 < т, где t0 — период осцилляций в электрическом поле (4.214), а т — время между соударениями, никогда не выполняется). В случае магнитного поля для свободных электронов аналогичное условие имеет вид
шнт < 1, (4.311)
шн - циклотронная частота (3.108). При Я ~ 104 Э ~ 8 ¦ 10s А/м т ~ ~ 10-9 с, шнт ~ 102. Принципиальное различие между электрическим и
