Квантовая физика твердого тела. - Вонсовский С.В.
Скачать (прямая ссылка):
fdr<fi*ot(г) ехр [-ip (Rn - Rm )/h] K>0f W =
= / dry*n( (r)X<pmi (r) = SZff (At) exp [ik (Rm - Л„)] (4.328)
к
((4J328) следует прямо из определения функций Ваннье (4.280)). Аналогично находим
Smn~bmn. (4.329)
Преобразуем Нтп с учетом (4.328), (4.326), (4.310):
Нтп = ехр [-ie[RnRm]Hfrbc] (Ас)Х
к
X ехр [/'Ас(Лт - Л„)] = ехр [ie [(Лт - Rn)Rnl2hc]H] X
X Z Ei (At) ехр [ik(Rm - Л„)] = к
= ??¦{. (At) ехр [/ [At - — Л(Л„)] (Rm - R„)] = к he
= 2 Е((к+ — Л(Л„))ехр [ik(Rm - Л„)] = к \ he /
= ??>(* + — A^i —Jj ехр [ik (Rm -Лп)]. (4.330)
Вопрос о порядке действия операторов к и / Э/ЭАс здесь не существен, ибо при коммутации Ас и (e/h с) А (/Э/ЭАс) возникает магнитное поле, не ум-
1 В металлах d является единственной характерной длиной, определяемой зонную
структуру, ибо kq,~d~'. В общем случае вместо d в (4.327) должна стоять некая
комбинация периода решетки, ширины запрещенной полосы, фермиевского им-
пульса и т.д.
258
ноженное на большой множитель R„; такими членами в слабых полях можно пренебречь по сравнению с результатами действия /Э/ЭЛ на exp(ikR„).
Уравнение Шредингера (4.317) с учетом (4.329), (4.330) принимает вид
Еап = 2 а(Л) Еу [к + —a(i —Y) ехр (-/ЛЛ„), (4.331)
к \ he \ дкН
где
а(к)= 1, ат exp(ikRm). (4.332)
т
Интегрируя по частям и пренебрегая некоммутативностью операторов к и (е/\\с)А (id/dk) по причинам, указанным выше, получаем
Еа„ = 2 ехр (~ikR„) Еу [к — (e/hc)A (id/dk)] ot(k). (4.333)
к
Формулу (4.333) можно доказать прямым разложением в ряд с учетом того, что A(-id/dk) = — A (id/dk).
Умножая (4.333) на ехр (ikRn) и суммируя по и, получим
З^эф а(к) = Еа(к),
(4.334)
ЗСэф =Ei [к- (e/h с) A (id /ЭЛ)].
Таким образом получен эффективный гамильтониан, описывающий движение электрона в магнитном поле. Он выражается через канонические переменныер = hK, r = id/dK, удовлетворяющие коммутационным соотношениям (4.321). Уравнения движения для этих операторов имеют стандартный вид
Э
hX=- — Еу dr Г
К - -1 Air) he
д
---- Е(
д К f
Характерный размер орбиты электрона в магнитном поле для свободных электронов порядка г,, (3.215). Считая кф ~<Г1, получим
г// =иф /и>н ~hmc/md \ е\ H~hc/d \ е\ H = l2H/d.
С другой стороны, амплитуда квантовых колебаний электрона вблизи классической орбиты (неопределенность координаты) порядка (hlmcj/j)1'2 =///. Следовательно, при выполнении (4.327) гн>1ц и движение электрона описывается узким волновым пакетом. Тогда мы можем перейти от операторов К.гк импульсу и координате центра волнового пакета, а (4.335) понимать как уравнение для средних. Введем
k=K-—A(r). (4.336)
he
259
Тогда скорость электрона равна
. 1 bEt{k)
Т= — ----5--- =V
h ЗА
(4.337)
Вычислим скорость изменения кинематического волнового вектора к. Дифференцируя (4.336) по времени и учитывая (4.335), (4.337), находим
(сила Лоренца). Эквивалентность (4.338) и (4.339) доказывается простым расписыванием по компонентам с учетом (4.309). Уравнения (4.337),
(4.339) служат основой для описания классической динамики электрона с произвольным законом дисперсии (т.е. зависимостью Е^(к)).
Оценим, наконец, в каких полях наступает магнитный пробой, т.е. резкое возрастание вероятности межзонных переходов, вызванных включением магнитного поля. Для электрического поля мы имели неравенство (4.223). Переходя к магнитному полю, надо заменить в соответствии с выражением для силы Лоренца
\с | F-*¦ | е | vH/c ~ h I е \ H/mcd = h соц/d,
где мы оценили скорость электрона на границе зоны как h/md. С использованием этой замены получаем, что вероятность магнитного пробоя мала, если
где Д — ширина запрещенной полосы. Для некоторых металлов в полях 105 Э « 8 ¦ 106 А/м может выполняться и обратное неравенство. Подробнее теорию магнитного пробоя см. в цитированной в 4.4.1 монографии И.М.Лифшица, М.Я.Азбеля, М.И.Каганова (§ 10).
4.6.2. Классические траектории1
Перейдем к решению уравнений (4.337) и (4.339). Умножая (4.339) скалярно на v, получим
1 Наиболее подробно вопросы, рассматриваемые нами в 4.6.2 и 4.6.3, изложены в только что цитированной монографии Лифшица И.М. и др.
Э
Ef КА (г) - — А/(г) =
*/ = -
h Эл
he h с
(4.338)
или в векторной форме
е
