Квантовая физика твердого тела. - Вонсовский С.В.
Скачать (прямая ссылка):
тн = [т1т2т31(т1а\ + те2а2 + те3а23)]1/2, (4.355)
где а,- — направляющие косинусы поля относительно главных осей эллипсоида (т.е. соответствующие проекции Нх = Нах, Hv = На2, Н2 = На3). В этом случае эффективная циклотронная масса1 также одинакова для всех электронов, но зависит от направления Н.
Из (4.339) можно вывести правило:электрон движется так, что справа от направления движения в каждой точке траектории расположена область с меньшей энергией. Для замкнутых траекторий это означает, согласно (4.352), что, если тн [Е, д4°)) > 0, то электрон вращается в том же направлении, что и свободный отрицательный заряд, а в случае тн (Е, А^0-*) <0 —
в противоположном. Соответственно говорят об электронных и дырочных траекториях. В связи с зависимостью от/4° ^ становится как будто бы неясным, на каких именно частотах должен наблюдаться в металлах циклотронный резонанс (что касается зависимости шн от Е, то нужно, разумеется, положить Е = Еф ибо только термически активные электроны могут получить энергию от внешнего переменного поля и участвовать в резонансе).
Если частота внешнего поля
ы = пин(Еф,ф),п= 1,2,3........... (4.356)
то в резонансе участвуют электроны, для которых
I ыН (.Еф, К) - шн(Еф, 40))1 ^ Г1, (4.357)
1 Выражение (4.355) можно получить и непосредственно, рассматривая диамагнитный резонанс в полупроводниках, см., например, Вонсовский С.В. Магнетизм. - М.: Наука, 1971, гл.13, § 1.
263
—*-------------------------I—>-
Pi Рг Рг
Рис. .4.35. Один из типов точек в к -пространстве, дающих вклад в циклотронный резонанс.
где т - время между столкновениями (см. п. 3.7.3). В общем случае такие электроны занимают слой толщиной
Эш/,
Ак,
Ък,
*,=*
(о)
Если же
Эш//(?ф, л4°^)/эл40^ = О, число таких электронов значительно больше. Для них
д 2изн
(4.358)
Д*г|
Ък2.
Поэтому резонанс будет наблюдаться прежде всего в случае выполнения условий (4.356), (4.358). Кроме того, аномалии поглощения должны иметь место для минимальных и максимальных значений к^К В этих точках скорость параллельна магнитному полю (рис. 4.35).
4.6.3. Квазиклассическиеуровни энергии.
Осцилляционные эффекты
Движение электрона в плоскости, перпендикулярной полю, может быть финитным. В этом случае, согласно общим принципам квантовой механики, разрешенными будут только определенные значения вклада соответствующих степеней свободы в энергию. Мы проквантуем эффективный гамильтониан (4.334) по правилу Бора — Зоммерфельда. Здесь удобнее применить другой выбор вектора потенциала (калибровки), чем в (4.310),
Ах = - Ну, Ау = Аг = 0. (4.359)
Тогда эффективный гамильтониан примет вид
еН
Кэф = Et {Кх + — У. Ку, Кг). he
(4.360)
Переменные х, г являются циклическими, поэтому мы имеем единствен-264
ное условие квантования
§Kydv = 2я(и + 1/2), и = 0,1,2,...,
(4.361)
где интегрирование ведется по замкнутой траектории в фазовом пространстве. Из (4.359) следует, что Ку = ку, а так как х - циклическая переменная, то Кх = 0. Отсюда получаем еН
dkx = — dy. (4.362)
he
Подставляя (4.362) в (4.361) и учитывая, что fkydkx =S(E, kz), находим
S(E,kz) = (2*М H/hc) (п + 1/2). (4.363)
Условие (4.363) определяет спектр энергетических полос Е (и, kz). Строго говоря, оно справедливо (как и квазиклассическое приближение) при условии п> 1. При этом разность энергий двух соседних уровней равна
АЕ = (2п | е | H/hc) [Э5 (Е, kz)ldE]~l =
= hcон (Е, kz) (4.364)
(см. (4.348) и (4.352)). Таким образом, выполняется принцип соответствия: частота перехода между соседними уровнями при больших квантовых числах равна частоте обращения1.
Если предположить, что h и>н слабо зависит от Е, kz (закон дисперсии близок к квадратичному), то для числа уровней под поверхностью Ферми получаем
пф~Еф1Ьын. (4.365)
Условие Пф> 1 эквивалентно (4.327), если кф~сГ1. В случае почти заполненных или почти пустых полос может оказаться, что Иф~1 и условие (4.363) должно быть неприменимо. При этом, однако, закон дисперсии близок к квадратичному, и эффективный гамильтониан есть гамильтониан гармонического осциллятора и свободного движения. Для первого, как известно, квазиклассический спектр совпадает с точным даже при и = 0. Таким образом, условие квантования (4.363) можно считать применимым практически без ограничений (кроме тех, которые необходимы для применимости самого эффективного гамильтониана — см. 4.6.1).
Уровни энергии не зависят от интеграла движения Кх. Вычислим соответствующую кратность вырождения. Число состояний с данной проекцией спина, kz, лежащих в интервале dkz при фиксированном п определяется как VdkzASI(2ir)3, где V — объем кристалла, AS— разность площадей в плоскости кх, ^.соответствующих уровням Е„ и Еп+1. С учетом
