Ренормализованная группа и epsilon-разложение - Вильсон К.
Скачать (прямая ссылка):
определения его ').
Даже в случае таких систем, как ядра, где точный гамильтониан неизвестен,
имеется тенденция к введению простых мо-* дельных гамильтонианов
(например, для моделей с потенциа-
1) Формально записать гамильтониан через его собственные функции и
собственные значения нетрудно, однако это абсолютно бесполезно, так как
нн первые, ни последние не известны в явном виде. Их определение и
составляет суть проблемы. - Прим. перев.
149
ГЛАВА 10
лами типа прямоугольной ямы или типа гармонического осциллятора), которые
воспроизводили бы качественные особенности физических явлений.
В настоящем случае мы игнорируем требование простоты. Оператор V
определен достаточно просто, a In V является более сложным оператором.
Например, матричные элементы (s'|ln F|s) нельзя записать в замкнутом
виде. В теориях поля, которые обычно рассматриваются (например, в
квантовой электродинамике или в теории скалярного поля со взаимодействием
^4), вводятся простые гамильтонианы. По крайней мере это так, если можно
верить канонической теории поля. Существуют три аргумента в пользу того,
чтобы заинтересоваться теориями с менее простыми гамильтонианами, такими,
например, как тот, который определен здесь выше.
Во-первых, определенный интерес представляет изучение гамильтонианов
любого вида, которые удовлетворяли бы общим принципам, например
локальности. Тогда, рассматривая In V в качестве гамильтониана, мы
получаем преимущество - вся техника статистической механики оказывается
пригодной для решения этой задачи. Из результатов гл. 14 станет очевидно,
что методы статистической механики для случая (скалярных) теорий с
сильным взаимодействием являются более мощными, чем любые методы теории
поля.
Во-вторых, следует иметь в виду принцип универсальности, который будет
обсуждаться в гл. 12. То, что мы выясним в гл. 12, сводится к следующему:
ожидается, что большие классы взаимодействий приводят к одной и той же
перенормированной теории поля, следовательно, точный вид исходного
взаимодействия (простого или сложного) не очень существен.
В-третьих, существуют способы обрезания, которые в результате определяют
вид формулы (10.9) для Я; эти способы обрезания будут изложены ниже в
настоящей главе-.
Рассмотрим теперь обычную квантовую механику и в ее рамках оператор ехр(-
Ят). Если определить вектор состояния ф(т) соотношением
I Ф (т)> - ехр (- Ят) | ф), (10.10)
где ф от т не зависит, то ф(т) будет удовлетворять следую-
щему дифференциальному уравнению:
|ф(т)>= -Я|ф(т)>. (10.11)
150
СВЯЗЬ МЕЖДУ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКОЙ И ТЕОРИЕЙ ПОЛЯ
Это как раз и есть уравнение Шредингера для мнимого времени. Предположим,
что состояние |ф(т)) имеет волновую функцию ф(ж, т). Тогда решение
уравнения (10.11) можно записать в следующей форме:
+ оо
ф(ж, т) = ^ G(x, х\ ж', О)^*', 0)^*', (10.12)
- оо
где G - функция Грина; в общем виде имеем
G(x, X) х', 0) = (ж |ехр(- #т)| х'). (10.13)
Функция Грина, как установили Дирак и Фейнман (см. [121]
или [104]), имеет простой вид для малых т. Формально можно
записать
I j ^ L [ж, ж] dx |,
G (х, х; х', 0) = ехр •j ^ L [ж, ж] dx f , (10.14)
где L - лагранжиан нерелятивистской системы, в которой время i заменено
на -ix. Для простого, не зависящего от времени потенциала V
лагранжиан в случае мнимого времени
имеет вид
Т - -j тх2 - V (ж), (10.15)
где ж есть dx/dx. Величину ж для малых т приближенно можно представить
следующим образом:
х = *(Tlr*(PI. (10Л63
Тогда функция (10.14) для малых х превращается в функцию
! / Г.Ч Г 1 (Х-Х')2 ГП*)+Г(*,)'П /1 Л 1 *7\
G (ж,т; ж ,0)"ехр | - -^т----------- т| -*-^J. (10.17)
Это соотношение позволяет практически применять определение (10.14).
Доказательство того, что (10.17) определяет функцию Грина для малых т,
дано во многих работах, и в частности в работах [104, 121].
151
ГЛАВА 10
Соотношение (10.17) показывает, что ехр(-Ят) для малых времен т является
довольно простым оператором. Если т не мало, тогда ехр(-Ят) можно
записать в виде
ехр(- Ят)даехр -^-)ехр(-Щ-) ...exp^-(10.18)
<-1 раз->
где I настолько велико, что величина х/1 мала. Операторы ехр(-Hxfl)
являются простыми, а оператор ехр(-Ят) получается из них итерациями. Если
вычислять многократное произведение с помощью перемножения матриц, то
можно найти
(* |ехр(- Ят) |*')= jj |ехр(-~7~)l *1>Х
*i *i
X <*i I ехр (- Щ-) | "г) ... X
X (xt I ехр (-| х'). (10.19)
Этот многократный интеграл можно записать более явно, используя
соотношение (10.17). В пределе I -> оо он переходит в фейнмановский
интеграл по траекториям [104, 121].
В квантовой теории поля также имеется формализм интегрирования по
траекториям, причем, для того чтобы сделать этот формализм хорошо
определенным, необходимо ввести некоторое обрезание. Это обрезание можно
ввести таким образом, чтобы у гамильтониана сохранился простой вид, точно
так же как и у оператора ехр(-Ят) для бесконечно малых т. Обрезание можно
ввести и так, чтобы только оператор ехр(-Ят) для заданной конечной
