Ренормализованная группа и epsilon-разложение - Вильсон К.
Скачать (прямая ссылка):
чтобы быть инвариантной по отношению к вращениям в пространстве,
соответствующем этим полям. Член взаимодействия в новом гамильтониане
будет
иметь вид Z В этом случае имеется два возможных
а
тензора:
7'ap(0) = Zs/(0)VaVpSy(0) (9.5а)
T4i/ (0) = S{ (0)VaVpS/ (0) (i ф /). (9.56)
Тензор Ta$ij(0) является тензором не только по отношению
к пространственным вращениям, но и по отношению к вра-
щениям в пространстве внутренней симметрии. Соответствующие вершины f/ap
(q, - q), f/ag,y (q, - q) определяются с помощью подстановки (st(x)st(y)
Гар(0)) или (s* (*) st (у) Tapi/ (0)> в формулу (9.3).
Анализ этих тензоров будет проведен для малых г и малых внешних импульсов
q. Чтобы рассмотреть случай q -*¦ 0, из иа$ необходимо явно выделить
кинематический множитель qaq$. Мы должны вычислить соответствующие
скалярные функции, которые умножаются на qaq$. Прежде всего напомним
некоторые результаты последней главы. Согласно аргументам, приводимым при
рассмотрении скейлинга, полный пропагатор при нулевом импульсе изменяется
в скейлин-говой области как %d~2ds, т. е. как корреляционная длина в
степени d - 2ds. Аналогично четырехточечная функция, если все ее внешние
импульсы положить равными нулю, изменяется как i3'*-4*(r)/!4*-8*(r). Эти
результаты нетрудно понять. В случае пропагатора рассматривается величина
^ ddx (s (jc) s (0)).
Основной вклад в интеграл вносят те х, которые меньше или примерно равны
|, т. е. х Поэтому d-мерный интеграл дает вклад ?d, а каждое из спиновых
полей вносит дополнительно множитель *) %~ds. Такие же аргументы можно
использовать для исследования величин {/ар (q, - q) и t/op</ (q, - q),
l) См. гл. 7. - Прим. перев.
136
РАЗМЕРНОСТЬ ТЕНЗОРНЫХ ОПЕРАТОРОВ
когда q очень мало. Если dT - аномальная размерность оператора Гар, то
2d-2ds-dT
4)' ^2d-4ds (А^)* (9*6)
Как утверждалось выше, функция Ua^(q, -q) пропорцио-
нальна qaq§. Следовательно, для малых q величина Faр пропорциональна
qalq^%. Тогда (9.6) можно записать в виде
U4{4,-4)~li+Sdt-dT<Mb {ql< 1). (9.7)
Соотношение (9.7) можно выразить через г и т], используя определения:
ds = ±(d- 2 + ц) и Тогда (9.7) примет вид
-?)~/-№'*~")/(2"Ч<7э № < О- (9.8)
Критический показатель т] с помощью процедуры сравнения, описанной в гл.
8, можно представить в виде ряда по 8. Единственным дополнительным
обстоятельством является наличие внутренней симметрии, приводящей к
увеличению числа диаграмм, учет которых необходим. Соответствующее
обобщение (8.24) и (8.25) имеет вид
r**~"0{l+4(" + 8>1g5.lnr+
(9.9)
^~1+32(я + 2)тш^1П,7+ ............
где я - число возможных степеней свободы, соответствующих внутренней
симметрии и обозначаемых г1)- И наконец, щ и т] можно выразить через г:
2
W==8(" + 8) * Л -32(я+ 2) (16я;2)2 • (9.10)
Положив я = 1, мы воспроизведем результаты гл. 8.
Анализ такого же типа будет использован сейчас для определения
размерностей тензорных операторов. Рассмотрим
>) См. гл. 8. -Прим. ред.
137
ГЛАВА 9
диаграммы, дающие вклад в вершинные функции Uaa(q, -q) и Ua$ij(q, -q). В
нулевом порядке по и0 это те диаграммы,
"У"*
Фиг. 9.2. а - диаграммы нулевого порядка, дающие вклад в Uaр; б -
диаграмма нулевого порядка, дающая вклад в С^арг/-
которые изображены на фиг. 9.2. Возможные диаграммы порядка "о и "о
изображены на фиг. 9.3 и фиг. 9.4. Однако вклады этих диаграмм (фиг. 9.3
и фиг. 9.4, а) обращаются
Фиг. 9.3. Возможный вклад в ?/ag порядка и0. q Эта диаграмма пропадает.
в нуль. Причина этого заключается в том, что q не появляется при
интегрировании по петле, в которой присутствуют индексы аир. Таким
образом, при вычислении этих вкладов множитель qaq§ возникнуть не может.
Следовательно, вклады
138
РАЗМЕРНОСТЬ ТЕНЗОРНЫХ ОПЕРАТОРОВ
должны быть тождественно равны нулю. Вычисление вклада диаграммы,
показанной на фиг. 9,4, б, состоит из двух частей. Первая часть -
вычисление интегралов, а вторая - подсчет числа способов, которыми эту
диаграмму можно построить. Один из путей вычисления вклада диаграммы,
изображенной
а
Фиг. 9.4. Две диаграммы порядка Ид, дающие вклад в Ua&.
Вклад диаграммы а тождественно равен нулю, однако вклад дна* граммы 6 не
равен нулю.
~4.fi
на фиг. 9.4, б, состоит в проведении вначале внутреннего интегрирования
по р:
X к*+?)!]=
Sj j
\р2 (1 + Р2)2 + Г] [(р + к + чУ [1 + (р + k + qfY + г] d<ip• (9Л1)
Тогда интегрирование по k имеет вид
1
[&2(1 +**)*+Г]*
?р + ?)2]Л. (9.12)
Так как нашей целью является вычисление f/ap и иа$ц с точностью до О
(Ид), интегралы с размерностью d = 4 - е можно
13"
ГЛАВА 9
заменить на обычные четырехмерные интегралы. Это справедливо потому, что
(9.12) имеет порядок О (ы^) и'зависи-мость интегралов от г приведет лишь
к поправкам более высокого порядка. Интеграл (9.12) нетрудно оценить.
Вклад в выражение для иа$ в пределе q -+ 0 равен
~ "6 (16л2)2 *п г' (9.13)
Чтобы проделать это вычисление до конца, необходимо найти число различных
способов, которыми можно расставить
а
Фиг. 9.5. Диаграммы а и б изображают два различных способа подстановки
