Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Вильсон К. -> "Ренормализованная группа и epsilon-разложение" -> 43

Ренормализованная группа и epsilon-разложение - Вильсон К.

Вильсон К. , Когут Дж. Ренормализованная группа и epsilon-разложение — Стройиздат, 1975. — 270 c.
Скачать (прямая ссылка): renormalizovannayagruppa1975.djvu
Предыдущая << 1 .. 37 38 39 40 41 42 < 43 > 44 45 46 47 48 49 .. 90 >> Следующая

мал. Причина этого заключается в том, что после дифференцирования у нас
получается некоторая новая корреляционная функция, которая содержит
выражение
Жв = \жв{х),
X
проинтегрированное по всему пространству, т. е. новая корреляционная
функция не является более корреляционной функцией, соответствующей только
малым расстояниям.
§ 3. МЕДЛЕННЫЕ ПЕРЕХОДНЫЕ ЯВЛЕНИЯ И УСТРАНЕНИЕ ИХ ДЛЯ МАЛЫХ е
Теперь необходимо обсудить еще одну проблему, которая связана с методом
вычислений, основанным на е-раз-ложении.
Проблема, возникающая, когда размерность пространства d близка к 4,
состоит в медленной сходимости эффективного взаимодействия Ж1 (или Жг в
дискретном случае) к Ж*, если мы находимся в критической точке. Медленную
сходимость можно проиллюстрировать, используя упрощенную рекуррентную
формулу из гл. 4. Исследование этой проблемы является важным для
вычислений, которые проводятся в следующей главе.
Упрощенные рекуррентные формулы (4.27) имеют неподвижную точку (г*, и*),
положение которой определяется (4.30). Предположим, что начальная
величина и0 близка к и*, но не совпадает с ней, и что г0 = г0с(и0). Тогда
решение рекуррентной формулы (п, щ) при /-> оо стремится к (г*, и*).
Скорость, с которой Г( и щ приближаются к г*, и*, можно определить с
помощью решения линеаризованных уравнений для п - г* и Щ - и*. Это было
сделано в гл. 4. Результат состоит в том, что о - г* и щ - и* при больших
I ведут себя, рак 2~ы, где 2~(r) - наименьшее собственное значение, опреде-
120
ПРИБЛИЖЕННАЯ РЕКУРРЕНТНАЯ ФОРМУЛА (ПРОДОЛЖЕНИЕ)
ляемое матрицей линеаризованных уравнений. Когда е мало, разность щ - и*
сходится к 0 очень медленно; чтобы щ - и* было мало, el должно быть очень
велико. Иначе говоря, должна быть велика величина е In А;, выраженная
через параметр эффективного обрезания Ai = 2~1.
Эта медленная сходимость нежелательна для тех целей, которые преследуются
в гл. 8. К счастью, вопрос о сходимости можно избежать. Если выбрать
параметр ц0 в точности равным и*, тогда = и* для всех I, и проблема,
связанная с медленной сходимостью, вообще не возникает.
Однако это еще не конец. Полная рекуррентная формула, соответствующая
ренормализационной группе, кроме гг и щ включает в себя много других
переменных. Чтобы упростить обсуждение, рассмотрим единственную
промежуточную переменную да*. Нецелесообразно полагать wq = да*, потому
что на практике имеется слишком много промежуточных переменных *). К
счастью, нет необходимости полагать да0 = да*. Рассмотрим начальные
условия (г0, и0, дао) вблизи неподвижной точки (г*, и*, да*). Тогда
решение (п, щ, wt) можно получить, если составить и решить
линеаризованные уравнения для г г - г*, щ - и* и Wi - да*. В этом случае
линеаризованные уравнения будут иметь три линейно независимых решения,
отвечающие трем различным собственным значениям. В пределе е->-0 эти
собственные значения равны 4, 1 и (*/4 - наибольшее собственное значение
для любой промежуточной переменной в пределе е->¦0). Для малых е третье
собственное значение по-прежнему близко к */4.
Растущее решение (собственное значение близко к 4) исключается путем
выбора значения г0, равного критическому значению гос(ыо, ш°)- Аналогично
решение, соответствующее собственному значению, близкому к 1, можно
исключить, правильно выбрав "о, например, выбрав и0 = и0с(дао), в
результате уравнения для (гг - г*, щ-и*, wi - да*) будут иметь только
третье решение с собственным значением, близким к lU. Когда переменной да
пренебрегают совсем, "критическое значение" "ос есть просто и*. Если
переменная да принята во внимание, значение uQc(wq) равно и* только в том
случае,
') Действительно, в этом случае возникла бы трудная задача вычислить
величины параметров, определяющих неподвижную точку, по остальным
промежуточным переменным. - Прим. перев.
121
ГЛАВА 1
когда w0 *= w*. Однако для других значений величины w0 все еще можно
выбрать До так, чтобы коэффициент при медленно убывающем решении стал
пренебрежимо малым. Фактически значение u0c(wq) оказывается равным и* с
точностью до е; только во втором порядке по е величина Иос(а>о)
отличается от а*. Этого можно было бы ожидать, так как присутствие w
изменяет и* только во втором порядке по е').
В заключение отметим, что начальные значения всех промежуточных
переменных можно выбрать произвольно (обычно все они полагаются равными
нулю). Тогда существуют критические значения г0с и и0с, такие, что Жг-^-
Ж* как 4~г, а не как 2_ег. Полагая г0 = г0с и "о = "ос, получаем, что Жх
приблизительно равно Ж* после нескольких итераций независимо от того,
насколько малым является е (г0с и и0с, как и г*, и* зависят от е).
') См. гл. 4. -Прим. ред.
Глава 8
ВЫЧИСЛЕНИЕ КРИТИЧЕСКИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ С ПОМОЩЬЮ ФЕЙНМАНОВСКИХ ДИАГРАММ (е-
РАЗЛОЖЕНИЕ)
В настоящей главе мы обсудим метод вычисления критических показателей,
исходя из разложений по степеням е и ис* пользуя технику фейнмановских
диаграмм [109]. Этот подход будет иллюстрироваться в рамках
Предыдущая << 1 .. 37 38 39 40 41 42 < 43 > 44 45 46 47 48 49 .. 90 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed