Ренормализованная группа и epsilon-разложение - Вильсон К.
Скачать (прямая ссылка):
результате получим решеточный пропагатор Dm{t), определяемый выражением
Dm(0 = <Q|^m(0<M0)|Q>. (Ю.ЗЗ)
Используя решеточный аналог формулы (10.32) для / > 0, находим
ПтУ) = (&\фтехр(- ШГ)фй\ Q)exp(iE0t), (10.34)
где Е0 - энергия основного состояния оператора Я.
Нам нужна формула для спин-спиновой корреляционной функции, которая
выражала бы ее через матрицу переноса V (см., например, [120]). В
статистической механике точка на решетке выделяется с помощью индекса
ряда п и решеточной переменной т внутри ряда. Произвольный спин на
решетке обозначается s",m. Спин-спиновую корреляционную функцию можно
тогда записать следующим образом:
г", т = Z~lf ... ^ ... ^ ... |з",т5о,оехр("Ж). (10.35)
L ряд п ряд О )
(Эта формула для п > 0; для п < 0 интегрирования по рядам ииО будут
проводиться в обратном порядке.) Предположим, что имеется всего 2N -f 1
рядов, занумерованных от -N до N, с периодическими граничными условиями
(и N ^ п).
150
СВЯЗЬ МЕЖДУ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКОЙ И ТЕОРИЕЙ ПОЛЯ
Тогда нетрудно увидеть, что для я ^ О
Sp (yw_fls"lFnsuyw+1)
Sp v2N+ ' (10-36)
здесь один из множителей V связывает ряд N с рядом -N, a sm- теперь
шредингеровский оператор, действующий в гильбертовом пространстве функций
тф (s), определенных ранее. Шпур в (10.36) можно переписать в следующем
виде:
Sp(V2"+1~"smy/lsn')
Г..- ,\>(yW*!) 0)- (10.37)
Предположим, что эрмитов оператор V имеет единственное наибольшее
собственное значение. (В рамках статистической механики, как показывают
факты, это справедливо для Т > Тс, т. е. для К< Кс, и несправедливо для К
> Кс\ см., например, работу [120].) Наибольшее собственное значение V
равно ехр(-Е0х), где Е0 - наименьшее собственное значение энергии
оператора Я = - In V/т. Соответствующий собственный вектор оператора V
является основным состоянием |й) для Н. Для больших N оператор VN можно
представить в виде
У^ "I Q) ехр (ЫЕ0х) (Q |, (10.38)
причем ошибка экспоненциально по N стремится к нулю при Я-> оо. Используя
этот результат, получаем (для "бесконечно большого" N)
Г", m = (Q I Sm ехр (- пНх) 501 Q) ехр (пЕ0х). (10.39)
Теперь можно связать Dm(t) и Тп,т-Результат (для п ^ 0) выглядит
следующим образом:
Tn.m = t,2Dm(-in%). (10.40)
Функцию Dm(t), определенную на полуоси t > 0, можно аналитически
продолжить на нижнюю половину плоскости t. Это возможно по той причине,
что Н - Е0 является положительным оператором (по определению Е0), и,
следовательно, величина ехр {-i(H - E0)t} будет ограничена для 1ш t < 0.
Такое аналитическое продолжение определяет Dm(-it). Если же известна
функция Dm(-it), то аналитическое продолжение определяет Dm (t).
157
ГЛАВА 10
Итак, спин-спиновая корреляционная функция, используемая в статистической
механике, эквивалентна пропагатору квантовой теории поля на решетке при
дискретных значениях пх (мнимой) временной переменной.
Заметим, что в то время как исходная система в статистической механике
определена на решетке для мнимой временной переменной, система в
квантовой теории, полученной из статистической механики, определена для
непрерывной действительной временной переменной. Однако оценить Dm{t) для
любых действительных или мнимых величин t между точками решетки, т. е. в
интервале т, довольно трудно. На практике, чтобы найти значения t между
точками решетки, необходимо диагонализовать оператор V и использовать
соотношения, подобные (10.44). В настоящее время не существует реальных
методов диагонализации оператора V вблизи критической точки (за
исключением точно решаемой двухмерной модели Изинга [120]). В работе [75]
проведено исследование некоторых собственных состояний и собственных
значений оператора V, представленного в виде разложения по К-
Замена пространственной решетки, узлы которой характеризуются вектором т,
непрерывным континуумом является более трудной задачей. При выводе
квантовой механики на основе теории поля на решетке была введена
постоянная решетки а, поэтому можно было ожидать, что теория поля в
непрерывном пространстве восстанавливается, если положить а->0.
Рассмотрим, однако, физическую (ренормированную) массу рй, фигурирующую в
теории поля. Если не проводить перенормировку массы (т. е. если ро
считать фиксированной величиной при а->-0), то масса рй будет
пропорциональна обрезающему импульсу аг1, а не постоянной. Этот вывод
следует из теории перенормировок, основанной на теории возмущений, для
размерности d = 4 (для 3 < d < 4 величина рй при а->0 расходится, однако
не так быстро). Точно такой же вывод получается из рассмотрения
статистической механики в пределе малых а независимо от теории
возмущений. Как будет показано ниже, физическая масса равна (?а)-1, где |
- корреляционная длина соответствующей статистической системы, выраженная
в единицах постоянной решетки. Для размерности d = 4 корреляционная длина
| при а ->¦ 0, вероятно, остается конечной (см. ниже) и, следовательно,,
величина рй ведет себя как а-1.
158
СВЯЗЬ МЕЖДУ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКОЙ И ТЕОРИЕЙ ПОЛЯ
