Ренормализованная группа и epsilon-разложение - Вильсон К.
Скачать (прямая ссылка):
ряд 1 ряд О ряд -1
где ряды занумерованы в соответствии с фиг. 10.1. Так как взаимодействие
в (10.2) включает в себя только взаимодействие с ближайшими соседями,
статистическую сумму можно более точно записать в виде
Z== ... ^ ехр {Эв [ряд 2, ряд 1]}Х
ряд 1
X ^ ехр {36 [ряд I, ряд 0]} ^ ... . (10.5)
ряд о
146
СВЯЗЬ МЕЖДУ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКОЙ И ТЕОРИЕЙ ПОЛЯ
В величине гамильтониана взаимодействия 36 в выражении (10.5) имеется
некоторая степень неопределенности, поскольку члены из (10.2), включающие
в себя, скажем, только ряд 1, могли бы появляться либо в 36 [ряд 2, ряд
1], либо в 36 [ряд 1, ряд 0]. По условию такие члены будут равнорас-
пределены между 36 [ряд 2, ряд I] и <Ж[ряд 1, ряд 0]. Ясно,
^ 8т З'т+1
Ряд+1 • • (c) •
Ряд 0 (c) • (c) •
8т Sm+I
Ряд -I (c) • • •
Фиг. 10.1. Двухмерная решетка спинов.
Спнны внутри каждого ряда нумеруются с помощью дополнительного индекса.
что все гамильтонианы взаимодействия 36 в (10.5) имеют одинаковый вид и
отличаются тольДо трансляцией на один ряд. Удобно обозначить узлы решетки
внутри ряда (подрешетки) с помощью d-1-мерного вектора т. (Для двухмерной
решетки т является скаляром.) Из (10.2) следует, что если sm(sm)~ спины,
принадлежащие ряду 0 (ряду 1) (см. фиг. 10.1), то
Ж [р,д 1, ря, 0] = - { Ь ? (.>" + s'J) - -jr "0 ? " + 4) +
т т
+ Т 1>А+г + ) + к ? "./". (10.6)
т, Г т
где третий член включает взаимодействия между узлами решетки,
принадлежащими рядам 0 и 1. Четвертый же член
147
ГЛАВА 10
в выражении (10.6) определяет взаимодействие между рядом 0 и рядом 1.
Пусть 5 обозначает множество спинов {sm}, принадлежащих некоторому
определенному ряду. Тогда Ж является функцией s и s'. Запишем У (s', s) в
виде
V (s', s) = ехр {Ж (s', s)}. (10.7)
Функция V'(s') s) определяет элементы некоторой матрицы;
произведение таких матриц включает в себя интегрирование
по всем спиновым переменным smH3 s. Теперь можно приступить к развитию
формализма операторных волновых функций. Волновыми функциями будут
служить функции гф(s); оператор V, действуя на ф, дает волновую функцию
tp' (s'):
ф'(s') =^1/(S', 5)ф(5), (10.8)
s
где ^ означает
+ 00
П \ds*•
т - io
На решетку конечных размеров удобно наложить периодические граничные
условия, которые означают, что в дополнение к взаимодействию между рядами
п и п + 1 (п изменяется, скажем, в пределах 1 ^ п ^ N- 1) включается
взаимодействие между рядом N и рядом 1. В этом случае, как и было
обещано, статистическая сумма-имеет вид 5>р(^).
Пространство функций гр(s) определяет некоторое гильбертово пространство
(в том случае, если каждый ряд имеет конечную длину; в противном случае
мы имеем дело с несепарабельным гильбертовым пространством, появление
которого вызывает некоторое неудовольствие со стороны тех, кто расположен
рассуждать строго)1). Оператор V является эрмитовым, поскольку
гамильтониан взаимодействия Ж (s', s) действителен и симметричен. Таким
образом, V можно выбрать в качестве гамильтониана некоторой
квантовомеханической системы. Однако приемлемый для этой цели
гамильтониан должен удовлетворять определенному дополнительному
требованию локальности. Оператор V является экспонентой от
*) См., например, статью Ф. А. Березина [147]. - Прим. перев,
148
СВЯЗЬ МЕЖДУ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКОЙ И ТЕОРИЕЙ ПОЛЯ
сумм по узлам решетки. Чтобы получить величину, которая является
аддитивной по достаточно отдаленным узлам решетки, гамильтониан теории
поля будет выбран равным
# = --Lin У, (10.9)
Т
где т - произвольная постоянная нормировки. Когда величина К в (10.6)
равна нулю, нетрудно показать, что In V действительно является суммой по
узлам решетки (в этом случае V равно прямому произведению независимых
операторов: по одному для каждого узла). Сделанное выше утверждение можно
также проверить с помощью теории возмущений по К (см. [75]).
Доказательство локальности In V каким-либо другим способом является
нетривиальной задачей, которая в дальнейшем обсуждаться не будет.
Чтобы разъяснить перспективность определения (10.9) для Я, будет сделано
длинное отступление по поводу определения гамильтониана и природы
оператора ехр(-Ят) в квантовой механике и квантовой теории поля.
В обычной формулировке квантовой механики имеются два типа ограничений,
налагаемых на гамильтониан. Во-первых, это общие ограничения на
гамильтониан Я: он должен быть эрмитовым, в особых случаях он должен
удовлетворять специфическим свойствам симметрии и т. д. В теории поля
гамильтониан Я должен быть также по крайней мере макроскопически
локальным. Ограничение второго типа сводится обычно к некоторому
требованию простоты. Например, куло-новский гамильтониан можно записать в
явном виде с помощью только двух параметров: заряда электрона и массы. В
противоположность этому множество собственных значений, например атома
гелия, который является чрезвычайно сложным объектом, не позволяет
представить гамильтониан в замкнутом'виде. Гамильтониан был бы гораздо
менее полезным понятием, если бы не существовало простого способа
