Ренормализованная группа и epsilon-разложение - Вильсон К.
Скачать (прямая ссылка):
физике1). Важность этого конкретного исследования состоит в том, что оно
дает пример аномальных размерностей в теории, которая оказывается
масштабно-инвариантной на малых расстояниях. Единственным известным до
сих пор примером была более тривиальная модель Тирринга. (Обзор
литературы по модели Тирринга см. в работах [115, 116].)
Детали связи между критическими явлениями и теорией поля будут
рассмотрены в следующей главе. Здесь мы будем полагаться на очевидную
связь между диаграммами Фейнмана, которые рассматривались в предыдущих
главах, и сходными с ними (неперенормированными) диаграммами Фейнмана для
теории поля ф4. Настоящие вычисления будут проведены в рамках
статистической механики; однако очевидная аналогия между корреляционными
функциями спинов и вакуумными средними произведения полей позволит нам
выразить результаты этих расчетов через аномальные размерности.
Для начала напомним правила фейнмановского диаграммного подхода к е-
разложению. Пропагатор имел вид, соответствующий обрезанию, т. е. \q2{\ +
<72)2+ г]-1> а вершине сопоставлялась величина --"о. Перенормировка массы
была проведена так, что полный пропагатор с импульсом, равным
!) См. примечание в гл. 7, стр. 104.-Прим. перев.
133
ГЛАВА 9
нулю, был равен свободному пропагатору с импульсом, равным нулю,
а именно г*1. Рассмотрим теперь теорию поля ф*.
Пропагатор в этом случае равен [k2 - от2 -f- te]-1, а вершине
сопоставляется величина i%o. Между теоретико-полевыми величинами от2, к2,
А0 и статистическими параметрами г, q2 и ы0 можно установить
соответствие. Сравнивая пропагаторы с импульсами, равными нулю, приходим
к очевидной идентификации г и от2:
гч-э-от2. (9.1)
Рассматривая только область малых q2 (^2<С1), получаем связь между q2 и
k2
q2ч-"- - к2. (9.2)
Следовательно, положительная величина q2 соответствует пространственно-
подобному к. Поэтому вычисления, проводимые в рамках статистической
механики, касаются только вакуумных средних произведений полей в
пространственно-подобной области. Хорошо известно, что внутренние
импульсы в диаграммах, имеющих пространственно-подобные импульсы во
внешних линиях, можно сделать пространственно-подобными с помощью
поворота контура1). Следовательно, правила теории возмущений, упомянутые
в предыдущих главах, являются правилами Фейнмана для пространственно-
подобных импульсов. Затравочная постоянная взаимодействия после поворота
внутренних импульсов становится равной - А0; ее следует идентифицировать
с - щ. Величина от2, возникающая при применении этих правил, не вполне
совпадает с настоящей перенормированной массой, поскольку перенормировка
была проведена не на массовой оболочке, а при нулевом импульсе. Так как
параметр обрезания фиксирован и равен 1, величина от должна быть мала (т.
е. мало г), для того чтобы физическая масса была гораздо меньше параметра
обрезания. Наконец, перенормировка ни волновой функции, ни постоянной
взаимодействия не проведена.
Интегралы в случае статистической механики имели вид S ddq, где d -
размерность пространства. В случае теории поля d - размерность
пространства-времени. Таким образом, d - 4 - е в случае теории поля
означает пространственную размерность, равную лишь 3 - е, в то время как
в случае
') См., например, книгу [146]. - Прим. перев.
134
РАЗМЕРНОСТЬ ТЕНЗОРНЫХ ОПЕРАТОРОВ
статистической механики d = 4 - в соответствует пространственной
размерности 4 - в.
В рамках изложенных выше правил мы намерены вычислить в этой главе
размерности некоторых составных операторов. Определим вершину в
конфигурационном пространстве соотношением
(?> - Я) Г2 (q) = J ехр {iq ¦ х} ехр {- iq ¦ у} (s (*) s (у) Гар (0)>,
(9.3)
что и позволяет исключить собственно-энергетические вклады во внешние
линии вершины. Оператор Гар будет обозначаться
графически так, как это изображено на фиг. 9.1. Мы особенно
заинтересованы чисто тензорной частью оператора (в противоположность его
скалярной части ^ZjTaa). Выбрав а ф р,
мы тем самым выделим именно эту часть оператора Гар.
На языке теории поля Та§ является линейной комбинацией тензора энергии-
импульса и полной производной VaVps2(0). Матричный элемент иа$
искусственно выбран так, чтобы полная производная не давала вклада в Ua$.
Дело в том, что внешний импульс, соответствующий Та$, равен нулю. Из
общих соображений можно утверждать, что в масштабно-инвариантной теории
размерность тензора энергии-импульса равна d, т. е. размерности системы.
Мы увидим ниже, что это справедливо по крайней мере с точностью до г2.
Реально существуют еще и другие операторы, которым сопоставляются
внутренние квантовые числа, такие, как изоспин, и которые не должны иметь
размерность d. Чтобы проиллюстрировать
где
(9.3) он входит в квадрате.
(9.4)
<
Фиг. 9.1. Диаграммное представление составного оператора Тag.
a
135
ГЛАВА 9
это, введем внутренние квантовые числа, приписывая s внутренний индекс.
Обозначим новые поля через s*. Теория будет построена таким образом,
