Ренормализованная группа и epsilon-разложение - Вильсон К.
Скачать (прямая ссылка):
величины т имел простую форму. К объяснению этого мы вернемся ниже. Ни
тот, ни другой из методов обрезания не является лоренц-инва-риантным;
конечно, существуют также и лоренц-инвариантные методы обрезания.
(Евклидово-инвариантное обрезание было использовано в гл. 8 и 9.)
Рассмотрим лагранжиан скалярной теории поля (1 - размерность времени в
пространстве размерностью d. - 1):
L = J d*-'x {-1 (-g-)2 - j (W - у ffl2 ~ V4 } • (Ю.20)
где ф(х) -скалярное поле. Проведем обрезание первым методом; для этого
заменим непрерывное пространство рещет-
152
СВЯЗЬ МЕЖДУ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКОЙ И ТЕОРИЕЙ ПОЛЯ
кой с малой, но ненулевой постоянной а. Для градиента воспользуемся
приближением конечной разности, а интеграл заменим суммой. Пусть фт-
величина ф(х) в узле решетки с координатами tn (т. е. х - та). Тогда
Выражение (10.21) является лагранжианом для множества связанных
ангармонических осцилляторов, причем каждое фт соответствует смещению
осциллятора. Параметр массы каждого осциллятора равен ad_1. Если Рт-
оператор импульса для осциллятора т, тогда гамильтониан системы имеет вид
Оператор ехр(-Нх) для достаточно малых т [по аналогии с нерелятивистской
формулой (10.17)] можно записать следующим образом:
Насколько мало должно быть т, чтобы эта формула была справедлива? Для
получения грубой оценки, рассмотрим гамильтониан (10.22), но пренебрежем
ф*т и членами фтфт+?, которые отвечают взаимодействию различных узлов
решетки. Тогда гамильтониан станет равным
Н ~ ? { йг=Г П. + [} W' + (d - 1) rf<-3] ft } , (10.24)
(10.21)
{ф' | exp (- Hx) | ф)" exp ? { - ad 1 (Ф'т - фт)2 -
m
m
-1 (tm)d~% кад - ад+(f~*r - ад -
i
- J "''-'К № + *2) - T '*" (". + *2) } • °'23>
m
153
ГЛАВА 10
т. е. будет представлять сумму независимых гармонических осцилляторов,
энергетические уровни которых разделены промежутками величиной
Так как (c) - единственный энергетический параметр в гамильтониане Я,
ожидают, что (10.23) будет хорошим приближением, когда сот 1, т. е. для
достаточно малой постоянной решетки а в точности будем иметь т<а.
Выражение (10.23) гораздо проще формул (10.6) и (10.7) для (s'|F|s).
Чтобы провести подробное сравнение, допустим, что sm с точностью до
скалярного множителя совпадает с фт:
Требование, чтобы т было гораздо меньше а, означает, что
Тем не менее оператор ехр(-Ят) = V можно по-прежнему рассматривать как
матрицу переноса некоторой статистической системы, причем соответствующее
взаимодействие будет пространственно-анизотропным: вдоль одной оси
постоянная взаимодействия равна Кч, вдоль всех остальных К\.
(10.25)
Sm = &т-
(10.26)
Тогда соотношение (10.23) принимает вид
+ (SmSm+T + SmSm+t) + j > (10.27)
i
где
где
(10.28)
Кх < Кч-
(10.29)
154
СВЯЗЬ МЕЖДУ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКОЙ И ТЕОРИЕЙ ПОЛЯ
Таким образом, если мы готовы допустить в статистической механике
анизотропные взаимодействия, то в результате можно получить и простой
полевой гамильтониан с обрезанием, и соотношение
тЯ = - In F,
связывающее Я с матрицей переноса.
На практике в статистической механике проще иметь дело с изотропными
взаимодействиями, которые получаются, если положить т = а, так что К\ -
Яг. Теперь выражения (10.22) и (10.23) несовместимы1). Если же мы готовы
отказаться от простого явного вида (10.22) для Я, то для определения Я
можно использовать выражение (10.23); это означает, что, как и
предполагалось выше,
Н=-\ InF,
причем К = К\ = Кг-
Итак, можно взять формальное выражение, используемое в теории поля
[аналогичное (10.14)]:
Т
{f |ехр(-Ят)| ф) = ехр[ - ^ +
0
+ }W + {i*Sf + V4}]. (ю.зо)
и провести в нем обрезание, вводя пространственную решетку с постоянной
а. Тогда мы имеем параметр пространственного обрезания, равный а, и
временное обрезание т. Если х = а, получается изотропная матрица переноса
и непростой вид оператора Я. Если т матрица переноса анизотропна, а
оператор Я имеет простой вид. Уравнения (10.28) дают связь между полевыми
параметрами ро, Ао, обрезанием а, ренорма-лизационным параметром ? и
параметрами в статистической механике Ь, и0, Я) и Кг- Мы будем
рассматривать только случай х = а (К\ = Кг = К).
Следующая проблема - установление связи между спин-спиновыми
корреляционными функциями и величинами вакуумных средних в квантовой
теории поля с обрезанием. Подробно будет рассмотрен только пропагатор,
однако получен-
') Формула (10.23) получена в предположении, что т <?.а.-Прим. перев.
155
ГЛАВА 10
ные результаты будут справедливы для любых вакуумных средних произведения
п полей. Будет предполагаться, что соотношения
Н = -х-l\nV и &m = sm
имеют место. Стандартное определение пропагатора в координатном
пространстве имеет вид
D (х, t) = <Q | Тф (х, t) ф (0, 0) [ Q>, (10.31)
где |Q)-вектор основного состояния (состояния вакуума), а Т - оператор
хронологического упорядочения. Оператор ф(х, t) является полевым
оператором в гейзенберговском представлении
ф(х, /) = ехр (iHt) ф (*) ехр (- iHt). (10.32)
Заменим теперь непрерывную переменную х решеточной переменной т. В
