Ренормализованная группа и epsilon-разложение - Вильсон К.
Скачать (прямая ссылка):
4- 768 (я 4- 2) (л 4- 8) (5л 4- 22) Т} е4,
- - П + 2 е2 4- -bz-t'ou "2 + 56п + 272) е3 +
2(л4-8)2 1 8 (л 4- 8)4
4- п 4~ 2 ^ 32 (л 4- 8)'
+ 46 144 - 768 (5л 4- 22) (я 4- 8) t) е4,
ii'!-|-8(-"w(',, + 23"+601,' +
4- 89л3 4- 1412л2 4- 5904л + 8640 - 192 (5л 4- 22) (п 4- 8) Т) е3 •
4- 1-5п* ~ 230"3 + 1124п2 + 17 920" +
16 144 - 768
V = 1 + 4 (я 4-8) 6 + 8(л + 8)3 + 23п + ^ + 32 (л
+ 8)5~ +
124
ВЫЧИСЛЕНИЕ КРИТИЧЕСКИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ
висит от величины параметра обрезания; в данном случае параметр
обрезания, как и в предыдущих главах, положен равным 1. Для е ф 0
появляется больше логарифмических членов порядка е, е2 и т. д. (см.
ниже). Чтобы получить из первых нескольких членов (8.2) полезную
информацию, необходимо ограничить наше рассмотрение такими величинами и0
и q2, для которых выполняется неравенство
В принципе можно было бы смягчить требование (8.3) и просуммировать
логарифмические члены в (8.2) во всех порядках с помощью некоторой другой
техники. Однако используя то, что мы уже знаем о ренормализационной
группе и критическом поведении, достаточно рассмотреть в разложении
только несколько первых членов.
Для фурье-образа (8.1) при критической температуре имеем
здесь Т1 = 2 (ds + 1) - d. Когда т) - малая величина, выражение (8.4)
можно разложить
Если бы обычная процедура сравнения коэффициентов перед логарифмами
годилась для (8.2) и (8.5), мы непосредственно вычислили бы тр В общем
случае соответствующие степенные ряды (8.5) и (8.2) смысла не имеют. Дело
в том, что для большинства значений и0 степенной закон (8.4) является
правильным только тогда, когда q2 настолько мало, что и0 In q2 велико, а
в этом случае разложение (8.2) несправедливо. Это жесткое ограничение на
q2 возникает из-за медленной сходимости 9<Zi к 5^*, которая обсуждалась в
предыдущей главе.
К счастью, параметры исходного гамильтониана можно выбрать так, чтобы
выражение (8.4) было справедливо для большей области значений q2. На
основании обсуждения в последней главе для этого необходимо выбрать "o =
"oc(e), и тогда совпадет со своей критической формой Ж* после нескольких
итерационных шагов. Это означает, что выражения
(8.4) и (8.5) справедливы для всех q, удовлетворяющих усло-
| "о In д21 <С 1.
(8.3)
(8.4)
f (<7)~-^r(l +illn<7 + y Ti2ln2<7+ ...). (8.5)
125
ГЛАВА 8
вию q -С 1, независимо от е. Тогда для малых е, т. е. малых щ, оба
разложения (8.2) и (8.5) справедливы для q в области
ехр(--гг)<"<'
и между ними можно установить соответствие в каждом порядке по In q2.
Вернемся теперь к вычислению постоянной взаимодействия "ос(е)
[обозначаемой в дальнейшем и0(е)] и показателя т]. Чтобы сделать это,
рассмотрим следующие две величины: четырехточечную вершинную функцию uR,
внешним линиям которой при Т Ф Тс сопоставляются нулевые импульсы, и про-
пагатор Г, внешним линиям которого при Т - Тс соответствуют импульсы q.
Тогда, если мы определим, что пропагатор при Т ф Тс и q = 0 (т. е.
восприимчивость) равен г-1, из законов подобия для "-точечных функций,
рассматриваемых в последнее время '), следует
Ыд~г<8-2 ч)/с*-п>. (8.6)
Другое выражение для uR вытекает из диаграммного разложения ")? по
степеням Uq. Сопоставление диаграммного разложения с (8.6) позволяет
определить ы0(е). Тогда, если сравнить разложения (8.5) и (8.2),
показатель можно выразить окончательно через е.
Нашей первой задачей является доказательство соотношения (8.6) на основе
теоремы, изложенной в последней главе. Исходный гамильтониан системы
будет иметь вид
5^0 = - J 5 [q2 (1 + (ff + Го] OqO-q - я
U° \ S \ °ViCr?!CT<73<J,-<3't-<7,-9ji (8.7)
4t Яг 4з
где q изменяется в пределах от 0 до 1. Часть Жо, соответствующая
кинетической энергии, имеет дополнительную зависимость от q2, которая
заменяет собой обрезание, т. е. ограничение на q сверху. (Внимательные
читатели обнаружат, что было бы достаточно и одной степени 1 + q2.) Эта
форма обрезания является более удобной для вычисления фейнманов-
') См. гл. 7. - Прим. ред.
126
ВЫЧИСЛЕНИЕ КРИТИЧЕСКИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ
ских диаграмм. Удобно также в (8.7) провести "перенормировку массы".
Запишем
= - 1 5 [f 0 + /у2)2+ г) oqO-q -я }
2" S ^"° - °Ч°-Ч ~ ("о член). (8.8)
я
Новый член в (8.8), соответствующий перенормировке массы, так же, как и
член, пропорциональный ы0, рассматривается как возмущение. Поскольку
член, отражающий зависимость от г, в (8.8) добавлен и вычтен, зависимость
от г можно выбрать произвольно. Мы выберем ее таким образом, чтобы про-
пагатор Г(0) (q - Q) в точности равнялся г~\ т. е. потребуем, чтобы
пропагатор Г(0) имел такой вид, как если бы в (8.8) присутствовал
только первый член; все поправки
к Г(0) должны быть тождественно равны нулю.
Определим обычным образом я-спиновую корреляционную функцию:
">_ - л
Яп>г) aW)(fi+ _ +qn) . (8-9)
здесь мы отметили явно, что Г зависит от г. Точное опре-
деление ын тогда будет иметь вид
и Г (0, 0, 00. ^связанные /8Л())
R Г4 (О, Г) 4 '
где индекс "связанные" означает, что в (8.10) .не должно появиться ни
