Ренормализованная группа и epsilon-разложение - Вильсон К.
Скачать (прямая ссылка):
одной диаграммы, содержащей произведение двухточечных функций.
Знаменатель Г4(0, г) эквивалентен устранению собственно-энергетических
вставок во внешние линии всех диаграмм. Чтобы определить, как uR зависит
от г, мы обратимся к законам подобия, полученным в последней главе. В
частности, из соотношения (7.11) имеем
Г {Чи - ?",г)~?(г)(п-1Ы-^ (?,?,..., ЯЛ), (8.11)
следовательно,
? (я нулей, г) ~1 (,)<"-> (8.12)
127
ГЛАВА 8
Пропагатор тогда обладает следующим свойством:
Г (0, r)~ld-2ds = g-\ (8.13)
Однако по определению Г (0, г) = г~'; следовательно, между г и I имеется
простое соотношение
(8.14)
Из (8.12) вытекает, что корреляционная функция для 4 спинов удовлетворяет
соотношению
Г (0, 0, 0, 0, г)~^-Ч = ^+4-2т1. (8.15)
Следовательно, комбинируя (8.13) и (8.15), получаем
td+4-2Т]
(8-16)
Это соотношение, выраженное через г, как и утверждалось, имеет вид
W/?~r<e-2T))/<2-т". (8.17)
Наша следующая задача - получить степенные разложения uR и Г(<7, г) по
параметру и0. Она представляет собой некоторое упражнение в вычислении
фейнмаиовских диаграмм для размерности 3,99 [81, 109]. Диаграммы, дающие
в uR вклад порядка и0!, изображены на фиг. 8.1, а диаграммы,
вклад которых в Г(<?, г) имеет порядок и\, приведены на фиг. 8.2. Прежде
чем иллюстрировать вычисление диаграммы, дающей вклад в ыд, рассмотрим
диаграммы на фиг. 8.2. Поскольку в гамильтониан (8.8) член,
соответствующий перенормировке массы, введен для того, чтобы пропагатор
Г(<7, г) при q = 0 в точности совпадал со свободным пропагатором, и
поскольку интеграл, соответствующий петле (вторая диаграмма на фиг. 8.2),
не приводит к появлению зависимости от q, вклад от этой второй диаграммы
в точности сокращается с вкладом от члена в (8.8), соответствующего
перенормировке массы. Полная диаграмма для Г(<7, г) зависит от q, т. е.
поправка, отвечающая перенормировке массы, полностью сокращается с
вкладом от этой диаграммы только при q - 0.
128
ВЫЧИСЛЕНИЕ КРИТИЧЕСКИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ
В качестве иллюстрации вычисления величины фейнмайовской диаграммы для
размерности 3,99 рассмотрим вклад в uR, пропорциональный и\. Это дает
" (8.18)
[дЦ1 +q2)2+r]2 ¦ >
Интегрирование по углам не вызывает затруднений и приводит к
появлению несущественной постоянной. Теперь (8.18)
+
3 + о ~
Фиг. 8.1. Диаграммы, дающие вклад в uR.
Фиг. 8.2. Диаграммы, дающие вклад в Г(q, г).
Крестик соответствует члену нз выражения (8.8), пропорциональному (Го-г).
принимает вид
const
qd Xdq
[<72(1 + ?2)2 + r]2 •
Зависимость от e в (8.19) возникает из разложения
(8.19)
ф-1 = _ едЗ in у е2^з 1п2 ^ - ... . (8.20)
S Зак. 409
129
ГЛАВА 8
Рассмотрим вначале член q3, дающий вклад в (8.19). Мы интересуемся очень
малыми значениями г, поэтому интегрирование по области г <С q2 "С 1
приведет к появлению единственного логарифмического члена In г:
S [<72(1 + ?2)2 + г]2 ~$^Г- = -1пл (8-21)
Г
Аналогично член zq3 In q из (8.20) приведет к появлению в (8.19) вклада,
равного eln2r. Таким образом, мы можем ожидать, что разложение (8.19) по
параметру е будет иметь вид
и2 {In г -Н е [In2 г -f lnr + const] + e2[ln3r + ...] + ...}; (8.22)
здесь содержится некоторое множество числовых постоянных, явный вид
которых не выписан. Интеграл в этом примере был исключительно простым. В
общем случае мы встречаемся с нетривиальным интегрированием по углам,
таким, например, как
^ qd~l sind"2 (0) ... dqdQ, (8.23)
или, возможно, даже с двумя интегрированиями по углам. Эти интегралы,
однако, по-прежнему хорошо определены для нецелых размерностей d [81,
109].
Используя рассмотренную выше технику и более аккуратно обращаясь с
множителями 2 и л, получаем следующие разложения:
"* = "o + 9(-^){lnr + -^- -jelnr ...}+ ... (8.24)
для малых г и
f(q,0) = ±{\+^lnq+ ...} (8.25)
для малых q. Заметим, во-первых, что (8.25) не содержит члена,
пропорционального и0, так как ни одна из диаграмм не входит в расчеты в
первом порядке. Поскольку Г(<?, 0) ~ ~ q~2+ri для малых q, показатель 14
должен иметь порядок и2. Обратимся теперь к uR. С точностью до
логарифмического члена In г для uR имеем выражение
ur - ио { 1 + 4^г г + •••}'> (8.26)
130
ВЫЧИСЛЕНИЕ КРИТИЧЕСКИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ
оно должно быть пропорционально *) /¦("-24)/i2-ri)> Множитель и0 можно
опустить (это постоянная пропорциональности) ; следовательно,
i+^|-lnr+ ... ^Г(в-2г,)/(2-Ч)в1+|-|.+ 0^1пг+
(8.27)
и мы находим выражение для "0:
2jj2
Но = -д- 8 + Члены более высоких порядков. (8.28)
Сравнивая (8.25) и (8.5), получаем
4 = (8-29)
Интересно отметить, что 54 не является малым числом, поэтому даже выбор е
= 1 приводит в результате к числу т] " 0,02, которое мало по сравнению с
1. Показатель ц, вычисленный с точностью до е3, при е = 1 приблизительно
равен 0,04. В наилучших приближенных расчетах ц из высокотемпературных
разложений получаются значения 0,041-0,056 [111, 112]2), поэтому наше
грубое вычисление оказывается вполне заслуживающим доверия. Аномальная
размерность спинового поля, найденная из результатов высокотемпературных
