Ренормализованная группа и epsilon-разложение - Вильсон К.
Скачать (прямая ссылка):
статистической механики и служить некоторым введением к главам по теории
поля и аномальным размерностям. В частности, мы хотим найти поведение
спин-спиновой корреляционной функции в окрестности критической
температуры. Из результатов, полученных в последней главе [см. уравнение
(7.45)], следует, что корреляционная функция Г (дс), обозначенная в гл. 7
через Г (дс, 0), при 1 -С |*| <С ? и 71 ж Тс имеет вид
Г(*)-hr- М
х s
В настоящей главе мы найдем числовое значение аномальной размерности
спинового поля ds, когда размерность d физической системы близка к 4. Мы
получим также числовые значения различных других критических показателей.
См. работы [109, 110] и табл. 8.1.
Эта глава слишком короткая, однако в настоящее время по е-разложению
имеется много других работ (см. список дополнительной литературы в конце
данной книги).
Основная идея вычисления, основанного на фейнмановских диаграммах,
следующая. Для физических систем с размерностями d, близкими к 4, и со
скалярным взаимодействием sA(x) величина постоянной взаимодействия и в
неподвижной точке имеет порядок е = 4 - d. Следовательно, вычисления в
рамках теории возмущений вполне разумно проводить по параметру и. Если бы
d = 4, мы имели бы дело с обычными диаграммами Фейнмана для скалярной
теории поля $4. Тогда
123
ГЛАВА 1
когда Wo - te>*. Однако для других значений величины W0 все еще можно
выбрать "о так, чтобы коэффициент при медленно убывающем решении стал
пренебрежимо малым. Фактически значение Uoc(Wo) оказывается равным и* с
точностью до е; только во втором порядке по е величина Uoa{wa) отличается
от и*. Этого можно было бы ожидать, так как присутствие w изменяет и*
только во втором порядке по е *).
В заключение отметим, что начальные значения всех промежуточных
переменных можно выбрать произвольно (обычно все они полагаются равными
нулю). Тогда существуют критические значения Гое и иос, такие,- что Ж\
<Ж* как 4_г, а не как 2-ег. Полагая г0 = г0с и и0 = Uqc, получаем, что Жх
приблизительно равно Ж* после нескольких итераций независимо от того,
насколько малым является е (г0с и и0с, как и г*, а* зависят от е).
') См. гл. 4. - Прим. ред.
Глава 8
ВЫЧИСЛЕНИЕ КРИТИЧЕСКИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ С ПОМОЩЬЮ ФЕЙНМАНОВСКИХ ДИАГРАММ (е-
РАЗЛОЖЕНИЕ)
В настоящей главе мы обсудим метод вычисления критических показателей,
исходя из разложений по степеням е и ис* пользуя технику фейнмановских
диаграмм [109]. Этот подход будет иллюстрироваться в рамках
статистической механики и служить некоторым введением к главам по теории
поля и аномальным размерностям. В частности, мы хотим найти поведение
спин-спиновой корреляционной функции в окрестности критической
температуры. Из результатов, полученных в последней главе [см. уравнение
(7.45)], следует, что корреляционная функция Г(х), обозначенная в гл. 7
через Г(х, 0), при 1<С|х|<С|и7'"Гс имеет вид
Г(*) ST- (8Л)
х s
В настоящей главе мы найдем числовое значение аномальной размерности
спинового поля ds, когда размерность d физической системы близка к 4. Мы
получим также числовые значения различных других критических показателей.
См. работы [109, 110] и табл. 8.1.
Эта глава слишком короткая, однако в настоящее время по е-разложению
имеется много других работ (ем. список дополнительной литературы в конце
данной книги).
Основная идея вычисления, основанного на фейнмановских диаграммах,
следующая. Для физических систем с размерностями d, близкими к 4, и со
скалярным взаимодействием s4(x) величина постоянной взаимодействия и в
неподвижной точке имеет порядок е = 4 - d. Следовательно, вычисления в
рамках теории возмущений вполне разумно проводить по параметру и. Если бы
d = 4, мы имели бы дело с обычными диаграммами Фейнмана для скалярной
теории поля ф*. Тогда
123
ГЛАВА 8
фурье-образ Г (ж) становится в теории поля пропагатором и при Т = Те
имеет вид
+a,"0ln?2 + a2U';lnV+ •••}• (8.2)
Здесь и0 - затравочная постоянная взаимодействия s4, а а4 - некоторые
вполне определенные постоянные. Теория поля за-
Таблица 8.1
Формулы, полученные в настоящее время для критических показателей с
помощью вычислений фейимановских диаграмм
Определения критических показателей содержатся в гл. 2 при
Г-Тс). Число п равно числу компонент спииа а; в этих главах п-1.
Постоянная Тг приближенно равна 0,60103; см. работу [110]. Формулы для
показателей П и у получены в работе [110]. Остальные показатели найдены
из законов подобия; последние были получены для е-разложения в работе
[113].
{П - - (п + 28) е2 - g/l-tL {"4 + 50я3 +
2(п + 8) 4 (я 4- 8)3 8("+8)5
+ 920я2 + 3472л + 4800 - 192 (5л + 22) (л + 8) Г} е3,
а !_________3 8 4. + 2) (2л + 1) j , л + 2 ,д з j g
2 ,
Р 2 2(я 4-8) + 2(л+8)3 8(я + 8)5 { Я + иы +
4- 488л 4-848 - 48 (5л 4- 22) (л 4- 8)Т) е3,
+ жЙ>* + 52>"' +
4- 44л3 4- 664л2 4- 2496л4- 3104 - 96(5л 4- 22)(л 4- 8) Т) е3,
6-3+е+ WTWш+1601 s'+TprW +3W +
4- 276л2 + 1376л 4- 3168} е3 + {2л" +
4- 93л5 4- 1778л4 4- 12760л3 + 50 280я2 4- 147 136я 4- 263 040 +
