Когерентное нелинейное взаимодействие волн в плазме - Вильхельмссон Х.
Скачать (прямая ссылка):
Простые уравнения типа (2.1) или (2.7) описывают многие явления в физике, химии, биологии и т. п. В последующих главах подобные уравнения исследуются в связи с проблемой нелинейного взаимодействия волн. Весьма специфично применение этих уравнений к проблеме роста народонаселения. Модельное уравнение, описывающее изменение численности населения Земли, мож-
20
но представить в виде
dn/dt = с (i)n2 + b (t) п,
(2.11)
где с(0>0 [4]. Решив это уравнение, получим
.п (t) = п (0) ехр
Г i
\b(t')dt'
1 — п (0) j" dt"c (t") exp о
. (2.12)
Соотношение (2.12) указывает на возможность взрыва, момент которого определяется уравнением
п (0) j dt"c (Г) exp
о
1.
(2.13)
Из равенства (2.13) видно, что для исключения возможности взрывного поведения его левая часть должна оставаться меньшей единицы при любых временах. Конечно, в явном виде решение n(t) можно получить лишь при известных коэффициентах c(t) и b(t). Задача усложняется еще и тем обстоятельством, что при больших амплитудах коэффициент c(t) становится функцией п типа (2.10). Поэтому необходимо численное интегрирование (2.11), которое и было выполнено в работе [5]. В результате показано, что изменение численности населения Земли за последние 325 лет с неожиданно высокой степенью точности описывается уравнением (2.11) при постоянных коэффициентах с и b (с>0, Ь<0). Там же оценен уровень насыщения, обусловленный кубическим слагаемым типа (2.10).
Еще один пример использования уравнения (2.11) (на этот раз с отрицательными с и Ь)—проблема изменения плотности свободных электронов в атмосфере Земли. Слагаемые правой части тогда описывают процессы рекомбинации электронов на ионах и прилипания электронов к нейтральным атомам соответственно. Такие процессы приводят к уменьшению плотности свободных электронов, причем слагаемое, пропорциональное п2, формально возникает в результате перемножения электронных и ионных плотностей ne = tii = n.
Уравнения вида (2.11) с отрицательным с и положительным b использовались также для моделирования динамики численности популяций, которая сначала экспоненциально растет, а затем насыщается из-за влияния слагаемого второго порядка [6]. При наличии двух популяций между ними может устанавливаться определенная связь (например, одна популяция может поглощать другую). Такая ситуация моделируется двумя уравнениями, связанными посредством квадратичных перекрестных слагаемых, причем одно уравнение содержит положительное линейное и отрицательное нелинейное слагаемые, а знаки соответствующих слагаемых второго уравнения противоположны. Это — знаменитые уравнения хищников и жертв [7], имеющие осциллирующие решения для обеих популяций. Недавно было показано [8], что при
21
учете нескольких популяций из модели Вольтерра [7] может быть получена (при определенных условиях) моделы[6].
Наконец, следует упомянуть о попытках обобщения задачи Вольтерра на случай динамических переменных, изменяющихся не только во времени, но и в пространстве. Было показано, в частности, что для определенного класса начальных пространственных распределений переменных можно найти точные решения этой задачи [9]. В работах [10, 11] рассмотрена пространственно-временная эволюция произвольных начальных возмущений относительно равновесных нелинейных решений обобщенных уравнений Вольтерра. Полученные результаты имеют очень широкую область применимости.
Знакомство с примерами нелинейных уравнений и их приложений в различных областях можно продолжить, прочитав обширный обзор [12], а также статью [13].
Задачи
2.1. Объяснить характерную особенность порога параметрической неустойчивости (2.5) (обращение в нуль при bi = 0 или 62 = 0) и дать качественное описание явления при условии, что один из коэффициентов затухания очень большой, а второй равен нулю (считать, что ci, с2 и п0>0).
2.2. Пусть коэффициенты 61 н Ь2 в (2.3) одинаковы и равны Ь и амплитуда накачки п0 возрастает по закону а) па = п0 (0)exp (vt); б) п0 = «о(0)/(1—t/too)p. Найти асимптотические зависимости rii н п2 при /-»-оо и обсудить результаты [накачка типа б) требуется для получения оптимального сжатия в лазерных термоядерных установках с р = 15/8 для вырожденного электронного газа].
2.3. С помощью системы уравнений (2.1) выразить максимальные значения «1 и п2 через начальные значения переменных при условии, что ni(0)=n2(0), Ci = Сг и Со<0.
2.4. Дать качественное объяснение результатов при использовании вместо
(2.10) коэффициента
с (0 = с [1 + (d/c) dn (t — t)ldi] в следующих случаях: а) т = 0; б) т>0.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Minorsky N. Nonlinear Oscillations. Princeton, Van Nostrand, 1962.
2. Sturrok P. A. — Phys. Rev. Lett., 1966, v. 16, p. 270.
3. Weiland J., Wilhelmsson H. — Phys. Scripta, 1973, v. 5, p. 222.
