Когерентное нелинейное взаимодействие волн в плазме - Вильхельмссон Х.
Скачать (прямая ссылка):
4. Wilhelmsson H. — Ibid., 1972, v. 5, p. 116.
5. Weiland J., Wilhelmsson H. — Ibid., 1974, v. 10, p. 257.
6. Verhulst P. F. — Acad. Roy. Soc. Ltr. Belgique, 1845, v. 18, p. 1; 1847, v. 20, p. 1.
7. Volterra V. Lecons sur la Theorie Mathematique de la Lutte pour la Vie. Cah. Sci. VIII. Paris, Gauthier-Villars, 1931.
8. Zwanzig P. — Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 1973, v. 70, p. 3048.
9 Goel N. S., Maitra S. C., Montroll E. W. — Rev. Mod. Phys., 1971, v. 43,
p. 231.
10. Montroll E. W. — Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 1972, v. 69, p. 2532.
11. Hirota R. — In: Proc. of Workshop on Contact Transformations. Ed. by
R. M. Miura. Nashville, Vanderbilt Univ., 1974.
13. Wilhelmsson H. — Phys. Scripta, 1977, v. 16, p. 156.
14. Wilhelmsson H., Bohdeson A., Lisak M.— Ibid., 1979, v. 20, p. 352.
22
ГЛАВА 3
ТЕОРИЯ СВЯЗАННЫХ ВОЛН
При исследовании динамики плазменных систем обычно используют гидродинамическое или более детальное кинетическое описание. В первом исходная система уравнений включает гидродинамические уравнения движения, во втором — уравнение Больцмана. Эти уравнения описывают систему с различных точек зрения, ио имеют общую черту — все они нелинейны. Нелинейный характер этих уравнений приводит к математическим трудностям, в целях устранения которых часто ограничиваются рассмотрением только малых пространственно-временных возмущений и пренебрегают произведениями различных величин, т. е. линеаризуют исходные уравнения.
Такая аппроксимация нередко оказывается оправданной, но она заведомо непригодна для описания неустойчивых систем или в окрестностях резонансов, связанных, например, с наличием тепловых флуктуаций.
В линейном приближении можно определить собственные волны, частоты и волновые векторы которых связаны линейным дисперсионным соотношением. Оно характеризует как среду, так и волну рассматриваемого типа. В линейном приближении произведения осциллирующих величин не учитываются, и поэтому возмущения среды, обусловленные одной волной, не влияют на другую волну, т. е. волны оказываются несвязанными. Связь между волнами в нелинейной теории возникает именно благодаря учету взаимного влияния волн через среду распространения. Такой учет приводит, вообще говоря, к бесконечной иерархии вкладов высших порядков во взаимодействие, и в результате физический механизм необычайно усложняется. Чтобы описать эти явления математически, необходимо предположить, что взаимодействие является достаточно слабым, т. е. относительное влияние различных вкладов довольно быстро уменьшается с увеличением их порядка.
Пренебрегая произведениями всех осциллирующих величин, кроме парных, получим приближение второго порядка. Если при этом осциллирующие величины второго порядка удовлетворяют дисперсионному соотношению, то они могут инициировать появление третьей волны. Такая ситуация описывается системой трех взаимодействующих волн.
Вывод уравнений связанных волн
Для демонстрации метода описания когерентных взаимодействий приведем здесь, следуя работе [1], вывод уравнений связанных волн, описывающих взаимодействие двух поперечных электромагнитных волн и одной продольной плазменной волны [2]. Будем
23
исходить из следующих динамических уравнений: dnjdt -J- iV0y v = — у (nv); dB/dt -J- у X Е = 0; dvjdt -j- eElm + (u2jN0) уn = — (vy) v — (3.1)
— (e/m) v x В — (u2/Nl) nyn; e0dE/dt — (1 /u0) у x В — eNn\ = env,
где —ей m — заряд и масса электрона; N0, п и v — невозмущенная плотность плазмы, возмущение плотности электронов и их скорость; Е и В — напряженность электрического поля и магнитная индукция; и — тепловая скорость электронов. Уравнения (3.1) записаны в предположении, что плазма однородна в невозмущенном состоянии и движением ионов можно пренебречь.
В линейном приближении правые части уравнений (3.1) обра-
щаются в нуль и поиск нетривиальных решений вида
Aj exp [ i (wjt — kjX)\ (3.2)
приводит к соотношению
(со/ — (Op — k2jU2) (со/ — (Op — k)c2) = 0,
которое выражает равенство нулю детерминанта линейной системы алгебраических уравнений относительно амплитуд Ау Таким образом, частота и волновое число могут быть связаны одним нз следующих дисперсионных уравнений:
coy = сор -j- k2jU2 (3.3)
или
СО/ = (Op + k2jC2, (3.4)
где аР= (Noe^/meo)1^ — электронная плазменная частота; с — скорость света. Уравнения (3.3) и (3.4) описывают продольные (или ленгмюровские) и поперечные (илн ; электромагнитные) волны соответственно.
При учете нелинейных слагаемых в (3.1) решение уже не может иметь вид (3.2). В этом случае мы будем рассматривать временную эволюцию пространственных фурье-компонент, основываясь на использовании метода связанных волн. В качестве объекта исследования удобно выбрать не какую-либо из динамических переменных, а их линейную комбинацию, которую будем обозначать а и называть нормальным колебанием. Вид этой величины можно установить подстановкой линейной комбинации динамических переменных п, Е с неизвестными коэффициентами в соотношение
