Когерентное нелинейное взаимодействие волн в плазме - Вильхельмссон Х.
Скачать (прямая ссылка):
Альтернативный подход к описанию нелинейного взаимодействия волн основан на рассмотрении нелинейных токов в уравнениях поля. При таком подходе используются разложения дисперсионной функции в окрестности значений параметров, характеризующих гармоническую волну, что приводит к более точным соотношениям между нормальными колебаниями и электрическими полями. Результаты обоих подходов идентичны в том случае, когда производные дисперсионной функции по частоте и (или) волновому вектору всех порядков, кроме первого, не учитываются.
Поскольку описать нелинейное взаимодействие с помощью нелинейных токов довольно просто, а также в связи с тем, что в дальнейшем (гл. 17) нам понадобятся некоторые результаты, касающиеся дисперсионных эффектов второго порядка, приведем здесь упомянутую альтернативную формулировку теории нелинейного взаимодействия волн.
2—1974
33
Нелинейные уравнения поля и дисперсионные вклады высших порядков
Индуцированный ток в линейном приближении записывается как
J = огЕ, (5.1)
где Е — напряженность полного электрического поля, обусловленного всеми волнами в плазме. При слабой нелинейности вместо
(5.1) можно записать разложение вида [1]
J = J(I, + J(2) + . . ., (5.2)
где токи высших порядков пропорциональны произведениям напряженностей электрических полей различных волн. Подставив это разложение в уравнения Максвелла, получим с точностью до членов второго порядка:
V X Е = — n0dH/df; (5.3)
VXH = e0dE/df + J(I) + J<2). (5.4)
Используя фурье-преобразование и исключая магнитное поле с помощью уравнения (5.3), приходим к следующему уравнению для электрического поля:
[к (кЁи) - = - Ёш + (J^+J^). (5.5)
о3 ше0
В первом порядке имеем
* = ог(1> Е„ == icoP,
(0*
где введен вектор поляризации Рш, связанный с вектором Еи обычным соотношением
ь!-:цЕ(1| — f-:0E(ll -j рв.
Учитывая это соотношение, находим
<т(1> = i(oe0(e— 1), что после подстановки в (5.5) дает
[ k-(k,fa) ¦ - Ёи| = - вЕю + -i- Jl2). (5.6)
о2 |_ № J ше0
Отсюда имеем
<иее01Ш? = iSvl (5.7)
для продольных волн и
(сое — 62с2/со) е0Еш7- = й$ (5.8)
для поперечных волн.
Соотношения (5.7) и (5.8) можно представить в общей форме
D (to, k)Ea = — i N. L., (5.9)
34
где N.L. обозначает нелинейную вынуждающую силу. Формула
(5.9) является нелинейным дисперсионным соотношением. В линейном приближении оно сводится к виду Dj(coj, kj) =0, тогда как при учете нелинейного изменения Е во времени следует писать <D = coj—i (djdt) и разлагать D(co, k) в ряд Тейлора в окрестности со — со j (ср. с приведенным в гл. 4 выводом выражений для энергии поля в диспергирующей среде). В результате получим [1, 2]
( dD, д i dPDi & \-_ „т „
\~to~~dt~Т ~di*~ + • • (5-10)
где Ej — медленно меняющаяся амплитуда волны. При учете пространственного изменения разложение следует проводить также в окрестности k = kj и получать тем самым пространственные производные Ej.
Если нелинейное взаимодействие слабое, т. е. |\(djdt) | «Ссо;, то обычно достаточно удержать только первое слагаемое в (5.10). Тогда, записывая нелинейный ток второго порядка в виде некоторой функции произведения электрических полей, придем к системе уравнений трехволнового взаимодействия того же типа, что и (3.17). Отсюда следует, что множитель dDj/da, будет всегда входить в знаменатель коэффициента связи.
В предыдущей главе было показано, что энергия поля волны определяется соотношением
<WS) = (1/4) (dDj/dсо) Е, Ё]. (5.11)
Если система находится в состоянии теплового равновесия, то всегда <3Dj/<3co>0. В термодинамически-неравновесных системах знак коэффициента связи может изменяться на противоположный, что приводит к важным особенностям нелинейного взаимодействия волн (см. гл. 7 и 9).
При учете пространственного изменения поля вместо (5.10) будем иметь (в первом порядке)
[(dD/dсо) d/dt — (dD/dk) d/dz] = N. L. (5.12)
Здесь предполагается, что волна распространяется в направлении оси z. Учитывая, что D( со (A), k) =0, получаем
(dD/dai) dm/dk + dD/dk == 0. (5.13)
Таким образом,
dD/dk _ да
dD/da ~ dk g'