Когерентное нелинейное взаимодействие волн в плазме - Вильхельмссон Х.
Скачать (прямая ссылка):
Однако в общем случае диспергирующих сред связь между векторами D и Е, а также В и Н значительно усложняется. Так, диэлектрическая проницаемость описывает макроскопический отклик среды на внешнее поле, который выражается в появлении поляризации, стремящейся уменьшить полное поле в среде (эффект экранирования). Поляризация может возникать, например, вследствие смещения электронных оболочек атомов или изменения ориентации постоянных электрических диполей, имеющихся в среде. В плазме заряженные частицы могут свободно двигаться, и поэтому эффект экранирования обусловливается индуцированными токами. Из-за инерционности масс движущихся частиц процесс поляризации всегда занимает определенное время, отличное от нуля (так называемое время отклика). Ему соответствует некоторая частота, присущая рассматриваемой среде и для плазмы совпадающая с плазменной частотой. Если частота внешнего поля превышает характерную частоту, то экранирующее облако не успевает следовать за изменениями поля и диэлектрическая проницаемость уменьшается.
Таким образом, из-за конечности времени отклика поляризация среды в определенный момент времени зависит от поля в предшествующие моменты (временная или частотная дисперсия). Аналогично можно прийти к выводу о зависимости поляризации в данной точке от поля в других точках (пространственная дисперсия). Объединив эти эффекты, получим пространственно-временную дисперсию.
При учете только временной дисперсии связь между векторами поляризации и напряженности электрического поля выражается соотношением вида
t
Р (г, I) = е0 [ х (г, t — т) Е (г, т) dx, (4.4)
о
которое записано в предположении, что поле включается в момент ^ = 0, а начальной поляризацией можно пренебречь. Переходя к фурье-компонентам во времени, получаем
Рш(г) = е0х (г, со) Ем (г),
что дает
Da (г) = е0е (г, со) Ем (г). (4.5)
В общем случае анизотропной среды с пространственно-временной дисперсией вместо (4.5) следует писать
D(0t (к) = Ёо®г/ (k| ®) Еа1 (к),
где ejj(к, ю) —тензор диэлектрической проницаемости в фурье-представлении.
29
Аналогичные соотношения существуют между векторами В и Н, однако для плазмы нет необходимости выписывать такие формулы, так как магнитная проницаемость плазмы обычно близка к единице и можно просто положить ц=1.
Предположим теперь, что в плазме, описываемой материальным уравнением (4.5), распространяется квазимонохроматическая волна
Е (г, 0 = (1/2) Е0 (г, i) exp (icoo0 + к. с., (4.6)
у которой амплитуда изменяется медленно по сравнению с быстрыми осцилляциями поля на частоте соо. В дальнейшем нам потребуется также обозначение
Ё=Ё0(г, Oexp(ioy).
Из (4.5) следует, что
- 1 °° -D (г, t) = —- Г е0е (г, со) Еш (г) ехр (Ы) Жо
2я J
и, следовательно,
3D (г, О
dt 2л
J icoe (г, со) Еш (г) exp (iatf) du>. (4.7)
Ввиду медленного изменения E0(r, t) во времени значение Еш (г) отлично от нуля лишь в малой окрестности соо. В этой окрестности справедливо представление
сое (г, со) s=; со0е (г, со0) + (со — со0) (д/дм) [сое (г, со)](й=(йо, подстановка которого в (4.7) дает
dD/di = е0 Jico0e (г, со0) Е (г, t) + [сое (г, со)]ш=(0о X
X j i (со — со0) Ёш (г) exp (ico^) dcoj . (4.8)
Учитывая, что Ёщ(г) = Eqo-o,, (г), интеграл в (4.8) можно преобразовать следующим образом:
00
j" i (со — со0) Е0) (г) exp (io)/) da =
•—оо
оо
= exp (ico0/) j i (со — со0) Ё0(О_Шо (г) exp [i (со — со0) t]d(со — со0) =
«—с»
д ,0° —
= exp(icoo0—- f Еосо-ш,, (г) exp [i (со — со0) t]d(u> — со0) =
dt J
—оо
= 2л exp (icoo0^-Eo(r, i). dt
30
Окончательно получим
= е0 Це (г. Ц.)Ё (Г, t) + [®е (г, co)]tt=ttoexp (icy) д-^^-
(4.9).
Заметим, что соотношение (4.9) можно вывести также из соответствующего выражения для монохроматических полей
<3D/dt = icoe0e (г, со) Е (г, t),
рассматривая со как оператор соо—i(d/dt) и выполняя разложение в ряд Тейлора в окрестности со = соо- При этом, однако, необходимо считать, что оператор i(d/dt) действует только на амплитуду E0(r, t). Это означает, что к частоте со0 добавляется сдвиг, обусловленный изменением во времени амплитуды волны.
Зная соотношение между dD/dt и dE/dt, можно приступить к интегрированию (4.2). Поля, фигурирующие в (4.2), вещественны, поэтому
