Когерентное нелинейное взаимодействие волн в плазме - Вильхельмссон Х.
Скачать (прямая ссылка):
da/dt = icoa. (3.5)
Производная повремени исключается из этого соотношения с помощью линеаризованных гидродинамических уравнений, записанных с учетом гармонической зависимости от координаты х (д/дх-*—\k). Используя затем дисперсионное соотношение и при-
24
равнивая нулю множители при каждой из динамических переменных, можно найти все коэффициенты, требующиеся для определения нормального колебания а. Определенная таким способом величина а обладает тем свойством, что соотношение (3.5) на линейном уровне удовлетворяется для произвольных и независимых изменений динамических переменных во времени. Величина со, фигурирующая в (3.5), есть не что иное, как решение дисперсионного уравнения, отвечающее k-й компоненте Фурье. При решении задачи в терминах нормальных колебаний не требуется знание линейных соотношений между динамическими переменными, что является преимуществом этого метода.
Рассмотрим сначала поперечные волны. Предполагая, что волна поляризована в направлении у, получаем из (3.1):
dvy/dt + еЕу/т = (е/т) vxBz — vxdvy/dx\
dBjdt + dEjdx = 0; (3.6)
e0dEy/dt + (l/fi0) dBjdx — eN0vy = envy.
Определим теперь величину
ат = vy + (Чео/^о) + (\kT/\ioeN0) Bz, (3.7)
где сог и kT удовлетворяют уравнению (3.4), а динамические переменные типа vy связаны с реальными физическими величинами соотношениями вида vy= (1/2) (vy + v * ). Дифференцируя
(3.7) по времени и используя линейные части уравнений (3.6) с учетом равенства д/дх = —ikT, получаем соотношение типа (3.5). Это означает, что ат имеет смысл поперечного нормального колебания. Если, однако, при исключении производных по времени
учесть нелинейные слагаемые в (3.6), то вместо (3.5) будем иметь
даг _ /' е _ i«r dvu
---1(0_flL. =
dt ‘"ГГ х... ...1Кт
где индекс kT напоминает о том, что при записи правой части следует использовать координатную зависимость вида ехр(—\kTx). Отметим, что при наличии нескольких поперечных волн при определении нормальных колебаний согласно (3.7) в правой части всякий раз необходимо записывать поля, относящиеся лишь к одной из волн.
В тех же предположениях для продольных волн получим: dn/dt + N0dvx/dx = — (д/дх) [nvx);
dvx , еЕх и- дп е „ и2 да дих
—- Н---------------------------------------------------------------------------------------— Н-- -VUBZ-II-h Vx —-
dt m No dx m д/2 dx dx
(3.9)
s0dEx/dt — eN0vx = envx.
Продольное нормальное колебание определяется соотношением aL = n + (N0a>L/kLu2) vx + (ieN0/mkLu2) Ex, (ЗЛО)
25
а нелинейное уравнение, аналогичное (3.8), имеет вид
daL
ко,а, =
dt L“L
д , . ie2N0
дх mkLu40 HVx
dvx e u2 dn
kLu> У“х dx + m VyBz ~~ n20 4 ~dx
(3.11>
Рассмотрим теперь взаимодействие трех волн: двух поперечных (с частотами сото и соТ1 и волновыми векторами kT0 и kT\) и одной продольной (с частотой coL и волновым вектором kL). Исходными уравнениями для такого рассмотрения служат два уравнения типа (3.8), соответствующие двум различным фурье-компонентам поперечного поля, и уравнение (3.11) для продольной волны.
Представим реальные физические величины, фигурирующие в правых частях этих уравнений, в виде сумм
Щ = (1/2) (40) + 4°) + к- с. (3.12)
и т. д., где oj,01 изменяется в пространстве как ехр(—ikTax) и к. с. означает комплексно-сопряженную величину. Рассмотрение волновых полей как пространственных фурье-компонент приводит к условию
kT0 = kTl -)- kL, (3.13)
при выполнении которого в правых частях (3.8) и (3.11) имеются слагаемые с той же координатной зависимостью, что и в левых частях. Далее, для того чтобы избежать усреднения взаимодействия (с нулевым средним) из-за наличия быстрых гармонических колебаний вынуждающих сил, следует потребовать выполнения соотношения
СО7.0 = сог1 -)- со^. (3.14)
Однако прн учете нелинейного взаимодействия фурье-компоненты по пространственным переменным отнюдь не являются фурье-ком-понентами по времени, поэтому соотношение (3.14) не обязательно должно быть строгим. Действительно, динамические переменные имеют вид
vln = Vyo (t) exp (ico;0, а это при учете условия слабого взаимодействия
| (d/dt) [ In 4с/ (0 ] | С (3-15)
означает, что Vy'1 состоит из набора частот, близких к со j. Для нахождения нелинейных уравнений относительно нормальных колебаний aj необходимо выразить все динамические переменные через aj. Это можно сделать с помощью линеаризованной системы (3.1). В результате получим соотношения вида
