Когерентное нелинейное взаимодействие волн в плазме - Вильхельмссон Х.
Скачать (прямая ссылка):
EdD/dt= (1/2) (Е + E*)(l/2) (dD/dt + dD*/dt).
При усреднении этого выражения быстро осциллирующие слагаемые EdD/dt и ~E*dD*/dt обращаются в нуль. Сумма двух других слагаемых после подстановки (4.9) сводится к виду
<Ef>- +
= —0—— (сое) — ЕЕ*,
i да, dt
если дополнительно предположить, что е(г, со) —вещественная функция частоты. Теперь интегрирование (4.2) легко выполняется и при |л = |jо дает следующий результат:
<«7) = (1/4) [е0 (d/da) (сое) ЕЁ* + ц0НН*]. (4.10)
Если же ц является функцией частоты, то выражение для магнитной энергии записывается в той же форме, что и для электрической энергии. При учете пространственной дисперсии в качестве е следует взять функцию е(к, со), зависящую как от частоты, так и от волнового вектора.
Отметим, что при существенном увеличении сдвига частоты волны из-за нелинейного взаимодействия необходимо учитывать большее число членов в разложении Тейлора, что усложняет окончательное выражение для энергии волны.
Энергия продольных и поперечных волн
На основании общего выражения (4.10) нетрудно записать энергетические соотношения для продольных и поперечных волн. Магнитное поле продольных волн равно нулю, и поэтому для них
<Г> = (1/4) е0 (д/da) (coeL) ЁЁ*. (4.11)
31
Учитывая еще дисперсионное уравнение для этих волн еь — О, окончательно получим
(W) = (е0/4)со(<Эе^/<Эсо)ЕЁ*.
Напряженность магнитного поля поперечных волн выражается через напряженность электрического поля из уравнений Максвелла:
| Н | = (к/слц0) | Ё j ,
и, таким образом,
НН* = (Л/и(10)*ЁЁ*. (4.12)
Подставляя это соотношение в (4.10), находим
(W) = (1/4) [е0 (д/да) (сое) + ц0 (к/ац0)2\ Ё Ё*. (4.13)
что можно также переписать в виде
(W) = (е0/4) [(д/да) (сое) + (№/со2)] ЕЁ*
или
(W) = (е0/4) (д/да) [(1/со) (со2е — k2c2)\ Е Е*. (4.14)
Наконец, вспоминая дисперсионное уравнение для поперечных волн ет = Ь2с2/со2, получаем
—— Г — (а2ет — k2c2) = ——— (а2ет — к2сг)------------— (со2ег — k2c2) =
да L <*> J со Зсо со2
= — -^-(со2ег).
О) 0(0
Таким образом, для поперечных волн
(W) = (е0/4) (1/со) (д/да) (а2ет) ЕЕ*. (4.15)
Заметим, что соотношения (4.11) и (4.14) можно представить единой формулой
(W) = (l/4)[<?D(co, к)/<?со]ЕЁ*, (4.16)
где D(a, k)—так называемая дисперсионная функция, которая
в случае продольных волн записывается следующим образом:
D (со, к) = е0сое, (4.17)
а для поперечных волн — как
D (со, к) = (е0/со) (со2е — к2с2). (4.18)
Введенная таким образом функция D(a, к) удобна тем, что она непосредственно определяет дисперсионное уравнение
D (со, к) = 0. (4.19)
Отметим в заключение, что при записи выражения (4.10) для энергии поля использована нормировка (4.6) для комплексной ам-
32
плитуды волны. Именно такую нормировку обычно применяют при записи энергетических соотношений, тогда как при исследовании взаимодействия волн множитель 1/2 в (4.6) часто опускают.
Задачи
4.1. Рассчитать среднюю скорость уменьшения энергии поля, обусловленного наличием мнимой части диэлектрической проницаемости е.
4.2. Получить выражение для потока энергии волн, используя соотношение (4.16) для плотности энергии и определение групповой скорости.
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
Hines С. О. — J. Geophys. Res., 1951, v. 56, p. 63, 197, 207, 535.
Ландау Jl. Д., Лифшиц Е. М. Электродинамика сплошных сред. М., Гостех-издат, 1957.
Askne J. Res. Rep. Lab. Electronics, N 91. Chalmers Univ. of Technology, Gote-borg, 1968.
Бекефи Дж. Радиационные процессы в плазме. Пер. с англ. М., Мир, 1971.
Yeh К. С., Liu С. Н. Theory of Ionospheric Waves. N. Y.— Lond., Academic Press, 1972.
Witham G. B. Linear and Nonlinear Waves. N. Y., Wiley, 1974.
*?& - ...
ГЛАВА 5
ФОРМУЛИРОВКА ТЕОРИИ НЕЛИНЕЙНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ВОЛН В ПРЕДСТАВЛЕНИИ НЕЛИНЕЙНЫХ ТОКОВ
Связанные трехволновые уравнения можно вывести различными способами. В гл. 3 использован подход, основанный на введении понятия нормальных колебаний, т. е. некоторых линейных комбинаций динамических переменных. В терминах этих колебаний и были записаны связанные уравнения.
