Когерентное нелинейное взаимодействие волн в плазме - Вильхельмссон Х.
Скачать (прямая ссылка):
При наличии затухания вместо уравнений (2.1) следует писать
dnjdt + bjftj = с^п^', dn2/dt + b2ti2 =
(2.3)
где bi и Ьг — линейные коэффициенты затухания динамических переменных «1 и п%. Из системы (2.3) видно, что решения вида л1;2~ехp(/i) существуют при выполнении соотношения
(I + b1) (I + b2) = Cjtyio, (2.4)
из которого следует, что экспоненциально нарастающие решения
о
(Я>0) возможны лишь при условии b\bz<C\C2nb. Таким образом, существует пороговое значение параметра п0, начиная с которого развивается неустойчивость, а именно
«о =(6ААУ2)1/2- (2-5)
Это выражение определяет порог параметрической неустойчивости, обусловленный наличием линейного затухания. Более общие случаи рассмотрены в гл. 9.
Три изменяющиеся амплитуды
Предположим теперь, что параметр п0 также подчиняется уравнению типа (2.1), т. е.
dnjdt = с^щ, (2.1.в)
а величины П\ и п2 по-прежнему удовлетворяют уравнениям (2.1а) и (2.16). Кроме того, будем считать, что на начальной стадии процесса По^>«ь п2 и все коэффициенты связи с, — величины одного порядка. Тогда изменение п0 относительно мало и поведе-
18
ние П\ и п2 примерно такое же, как на рис. 2.1. Однако при положительных С\ и с2 величины и п2, постепенно увеличиваясь, на определенной стадии процесса достигнут значений, сравндАщх с По. На этой стадии пренебрежение изменением п0 становится незаконным, тогда в схему рассмотрения необходимо включить уравнение (2.1в). Возможны два случая: с0>0 и с0<0.
Рис. 2.2. Переход от экспонен- Рис. 2.3. Насыщение параметрической
циального нарастания к взрыв- неустойчивости и самосогласованное
ному нелинейное взаимодействие трех ди-
намических величин
Если Со>0, то п0 будет увеличиваться со временем, что, в свою очередь, приведет к увеличению скорости нарастания переменных я 1 и п2 (рис. 2.2). В конечном счете получим так называемую взрывную неустойчивость [2], когда все амплитуды увеличиваются до бесконечности за конечное время tx по закону
Я/~(*оо—О-1. (2.6)
Если с0<0, то п0, а вместе с ним и скорости роста п\ и п2 будут уменьшаться, что вызовет насыщение параметрической неустойчивости (рис. 2.3). При дополнительном условии «](()) =п2(0) для больших i получим стационарное решение.
Учет кубической нелинейности
Пусть все cj = c>0 и все tij = n. Тогда исходное нелинейное уравнение, записанное с учетом кубического слагаемого, имеет вид
dn/dt = bn + сп2 + dti3. (2.7)
Рассмотрим частный случай, когда на начальной стадии процесса доминирует- квадратичное слагаемое, а кубическим слагаемым можно пренебречь. Тогда влияние линейного слагаемого сводится к изменению времени развития взрывной неустойчивости (рис. 2.4) согласно соотношению
*со = (1/&)[1—ехр(—К»)], (2.8)
где too — время развития неустойчивости при Ь = 0.
19
Однако с увеличением амплитуды п кубическое слагаемое становится все более существенным и в конечном счете при d<.О приводит к стабилизации неустойчивости (рис. 2.5). Если линейное слагаемое на уровне насыщения относительно мало, то этот уровень определяется следующим приближенным выражением:
«нас ~ — c/d + Ь/с. (2.9)
Учитывая запаздывание в стабилизирующем слагаемом, т. е. переходя к немарковскому описанию [1], получаем осциллирующий режим приближения к асимптотическому значению п. При этом эффект насыщения удобно описывать, вводя в квадратичное слагаемое переменный коэффициент вида
c(t) = c[l + (d/c)]n(t— т)], (2.Ю)
где т — время задержки стабилизирующего механизма. Эффект запаздывания не влияет на равновесный уровень насыщения, но приводит к колебаниям значений п с периодом порядка 4т ,(рис. 2.6). Решение, качественный вид которого показан на рис. 2.6,
Рис. 2.4. Увеличение времени развития
взрывной неустойчивости при введении отрицательно определенного нелиней-
ного слагаемого
Рис. 2.5. Насыщение взрывной неустойчивости при учете кубической нелинейности
Рис. 2.6. Насыщение
взрывной неустойчивости при учете отрицательно определенной части квадратичного слагаемого, пропорциональной n(t—т). Приближение к асимптотическому значению обусловлено
линейным слагаемым
представляет особый интерес, так как оно имеет ту же структуру, что и при стабилизации взрывной неустойчивости в результате трехволнового когерентного взаимодействия [3]. Задержка описывает фазовый эффект. При т—>-0 этот эффект исчезает, так что т можно рассматривать как время когерентности.
