Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
где —2/и-(-1<^а<^ 1.
Особенно простой вид принимают формулы (9) и (10) в случае, когда функция /(х) инвариантна относительно вращений h из подгруппы SO (л), т. е. когда f(hx)=f(x). В этом случае в разложениях остается лишь член, соответствующий значению /С = 0. Мы получаем при этом следующие формулы:
При л = 2т —|-2 имеем
/(х)=-------------^---------------X
22m+lic'n+2 Г (m + VI i
2
х § .2ты*. (11)
a— ico
а при л — 2/л -(- 1: f (х) у
х [ Г (,-г^)-- 1} cfg Q (g) <оЬ~а~ат+1 fe) rfq, (12)
a—i oo
где — 2m -f- 1 1. Коэффициенты a(a) имеют вид
a (a) = $ f (x) tnoo(gd dx. (13)
[x.xj=l
Выражение для зональной сферической функции too(g) через функции Лежандра дается формулой (4) п. 3 § 3. Применяя эту формулу, мы можем переписать формулы (11) и (12) в следующем виде*.
§ 51 ОПЕРАТОР ЛАПЛАСА НА ГИПЕРБОЛОИДЕ 537
Если п = Чт 4- 2, то
rt-f*00 1 ( ;.Цт__ с m
Г (а)
f (ch 0) = -till— iiLti«!a(0)sp>_ _ i (ch 0) do, (14)
2/sh 20 a~ico
а если n = 2m~l~ 1, то
^h“)=fci^x
a-j-ico
X \ - ^^ ctg 7ГО a (а) (ch 0) da, (15)
a — i со
где —2//z -j- 1 <^a<^ 1. При этом
со n — 1 ^ д
a(a)=$/(ch9)sh ~0<p 2п-з (ch 0) rf0. (16)
n a 4" о
Формулы (15) и (16) при n = 3 и Rea =---------^ установлены Me-
лером и Фоком. Поэтому при п = 3 преобразование (15) и (16) называют преобразованием Мелера—фока.
§ 5. Оператор Лапласа на гиперболоиде. Полисферические и орисферические функции на гиперболоиде
1. Оператор Лапласа на гиперболоиде. В псевдоевклидовом пространстве Еп_i t роль, аналогичную роли оператора Лапласа в евклидовом пространстве, играет волновой оператор
4- _]—_______^!_
1—1 дх% j дх% '
Подобно оператору Лапласа, он коммутирует с движениями псевдо-евклидова пространства.
Будем рассматривать оператор Q внутри конуса [х, х] 0, хп 0. В сферических координатах (см. п. 1 § 1) он задается формулой
538 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ВРАЩЕНИЙ [ГЛ. X
Если функция /(х) не зависит от г, то на единичном гиперболоиде [х, х] = 1, хп 0 имеем Q/(x) = Ц0/(1), где (в сферических координатах)
?° = sh»-* 6„_1 ^Sh" 2 1 ЖГг +
I ^ ^ * п- 3 О д I
!h4I_1'sin''-3"5^7 sin я-,'Эё^
,___________1__________
¦ ¦ ¦ s[]2 sjn2 0n_2 ___ sjn2 02 ^02 '
Оператор называют оператором Лапласа на гиперболоиде [х, х)=1. Подобно оператору Лапласа Д0 на сфере (см. п. 1, § 5 главы IX) оператор Q, перестановочен с гиперболическими вращениями: если g(?SH(n), то
ife)0=D»ife),
где
?&)/($)=/(Г1 &)•
Мы видели в п. 5 § 2 главы IX, что неприводимые представления класса 1 группы SO (л) можно строить в пространствах !q41 однородных гармонических многочленов. Аналогично можно реализовать и построенные в п. 1 § 2 представления Тп° (g) группы SH(л). Именно, обозначим через ©па пространство однородных функций /(х) степени а, х^?п_(>1, таких, что Q/(x) = 0. Через обозначим пространство функций /(§) на гиперболоиде [х, х] = 1, таких, что r°f(x/r)?®na. Нетрудно показать, что пространство инвариантно относительно операторов L (g), g ^ SH (л). Поэтому мы получаем представление Qna(g) группы SH(n), эквивалентное представлению Тп° (g). Переход от представления Q™ (g) к Tm (g) осуществляется при помощи преобразования Гельфанда — Граева (см. п. 3 § 4).
2. Полисферические координаты на гиперболоиде [х, х] = 1.
Полисферические координаты на гиперболоиде [х, х]=1 определяются точно так же, как и на сфере (см. п. 2 § 5 главы IX). Единственное отличие состоит в следующем. Корню дерева ставится в соответствие координата хй = хп, и вершинам первого ранга лг01, х0к соответствует гиперболическое вращение в плоскости (х0т, лг0) на «угол» срт: ¦
*0 = лго ch cpm + х0т sh cpm, |
*0m = xo sh cpm + x0m ch cpm. I
Поэтому в выражении для дифференциала длины дуги на гиперболоиде вершинам первого ранга ставятся в соответствие выражения
<*Pm + sha cpm(-)-(-ch2cpm(-).
(2)
§ 5]
ОПЕРАТОР ЛАПЛАСА На ГИПЕРБОЛОИДЕ
539
Соответственно меняются выражения для оператора Лапласа и инвариантной меры в полисферических координатах.
Параметры разделения переменных на гиперболоиде подчиняются тем же условиям, что и на сфере, с той лишь разницей, что вершинам первого ранга могут соответствовать любые комплексные числа, а не только целые. Поэтому для вершин первого ранга снимаются и ограничения вида (14) п. 4, § 5 главы IX.
