Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
/7СГ(—)
(нормирующий множитель перед интегралом проще всего получить из того, что при г = О gr = e, a tQ0(e)= 1).
Мы получили интегральное представление для зональной сферической функции too(gr)- С помощью этого представления легко полу*
чить выражение too(gr) через функции Бесселя. Для этого разложим eRrcos? по степеням cos ср.
548 ГРУППА ДВИЖЕНИЙ га-МЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. XI
Подставляя это разложение в интеграл (2) и почленно интегрируя, получим
too{gr) =--------У~Г7 2! П5Г 5 cos*'Psinn'"4rf?-
"о oJ
Но
ТС
5 cos2m+1 ср sin""'a ср й?ср = О, о
г[ —)Г(Я +
J
COS2m ср 5ШЛ 2 ср flfcp:
Г (от+ 2
Поэтому
, r®Y Г(”+Т><дг>“
чю 0?/-)— ^/j
v' “.г'2”+,)г("+1!
С помощью формулы удвоения для Г-функции получаем отсюда
СО
'и+.<(ЗГ- (3>
т-^= 0 ^ (/Л -{* I) Г ( Я1 j
Сравнивая это разложение с разложением (3) п. 3 § 3 главы IV, получим
3Tl — 2 (#Г)
^Ы = г(^-)-^ЕГ. (4)
jRr\ 2 2 j
Тем самым установлена связь между зональными сферическими функциями представлений TR(g) группы М(п) и функциями Бесселя. Отметим, что из формул (1) и (4) следует равенство
V*T(f±±)jn(x) еш (1 _ 1 ^=________v 2 1 1_ (5)
(Г
(мы заменили п на п-2).
*) Мы заменили здесь для удобства R на IR.
S3] ЗОНАЛЬНЫЕ И ПРИСОЕДИНЕННЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 549
3. Присоединенные сферические функции. Рассмотрим теперь
присоединенные сферические функции t^oig) представлений TRg. Как было показано в п. 1, эти функции зависят лишь от параметров ?1> • • • > ?л-1, Г.
D
Рассмотрим сначала матричные элементы вида tMo(gr)> где gr = = g(ага, е), ага = (0, О, г). Они задаются формулой
t«0(gr) = (TR (gr)Z0, Ем). (1)
Но, как указывалось в п. 2, оператор 7 R(gr) переводит функцию
Ер = 1 в eRr^n- Поэтому
tRM0(gr)^ \ е**п E~(f)rfg. (2)
s«-i
Подставим в эту формулу значение ЕЛ1(|) (см. формулу (2) п. 6 § 3 главы IX) и перейдем к сферическим координатам. Из соотношений ортогональности для многочленов Гегенбауэра вытекает, что tMoigr) отлично от нуля, лишь если М имеет вид М = (т, 0,,.., 0). При М = (т, 0, ... , 0), получаем1) п'
tR \2 1/Гт1Т(я-2)(2т + я-2) ч/
tMo(gr)-—rp=rfj- V -Г(Я + т-2Т(п-2) Х
J п — 2 п — 3
X 5 eRrxCmr W(1 -X*)~dx. (3)
Применив формулу (8) п. 8 § 4 главы IX, получим
+R ,„ч Г (^2~) -yf Т(п + т — 2)(2т + п — 2) s/
(gr) =--------„ гг I/ ¦---------------mwin-п-------X
2т У ИТ (т - ' У я1Г(п-1)
2
I
п — 3
X (Rr)m [ eRrx (1 — х'1) + 2 dx. (4)
-1
В силу формулы (5) п. 2 эго равенство можно переписать следующим образом: если М — (т, 0, ..., 0), то
____________________________J ,„-2 (ЯГ)
SR n\-tf Т(п-\-т — 2)(2т-\-п — 2) т+ 2
tMO{gr) — 1 \2) у от!Г(«— 1) п-2_ > (5)
•Rr\ 2
2.
1) См. формулу (2) п. 6 § 3 главы IX. Следует иметь в виду, что (?)>
М — (т, 0......0) обозначалось в главе IX через 2”(§).
550 ГРУППА ДВИЖЕНИЙ га-МЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. XI
где, напомним, gr—'параллельный перенос на г вдоль оси Охп. Легко доказать, что при М = (т, 0, ..., 0) имеем
to.w (gr) = *мо (gr)- (6)
Заметим еще, что из формул (3) и (5) вытекает равенство
п — 2 п — 3
С eitxCm2 (лг) (1 — л:2) 2 dx = -Ji
(ту 7СТ(^-)Т(п + т-2) Jm +
т\Т(п — 2) n_-j.
' X \ 2
2
(7)
4. Теорема сложения для функций Бесселя. Выведем теперь новую теорему сложения для функций Бесселя. Рассмотрим элемент
