Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
(2)
642 представления Группы гиперболических вращений [гл. X
= ? 2 У g_i (/<*>). (3)
s + ~2~
Лишь первое из них непрерывно на полуоси 0=sCcp<^oo.
Точно так же для ср, получаем уравнение
в- (? + О Ф ^ в(? + 0 _ [Ре * + k {k + q + i)j „ = 0. (4)
Подстановка e~^ = t, n = t 2 v сводит его к модифицированному уравнению Бесселя
v
Поэтому частные решения уравнения (4) имеют вид
— */г*
"‘ = е 2 \ + ?±*(т) <в)
и
щ=е 2 * Ik + Q_±±(^r)- ' (?)
Пользуясь полученными результатами, легко написать выражение для собственных функций оператора в орисферических координатах (или, как мы кратко назовем их, орисферические функции). Предоставляем сделать это читателю.
ГЛАВА XI
ГРУППА ДВИЖЕНИЙ л-МЕРНОГО ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА И ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
В главе IV многие свойства функций Бесселя были выведены из того, что через эти функции выражаются матричные элементы неприводимых представлений группы УН (2) движений евклидовой плоскости. В этой главе будут рассмотрены представления класса 1 группы М (л) движений л-мерного евклидова пространства. Покажем, что при соответствующем выборе базиса в пространстве представления некоторые матричные элементы представления выражаются через функции Бесселя. Отсюда будут получены новые свойства функций Бесселя.
§ 1. Группа М (п)
Назовем движением л-мерного евклидова пространства Еп неоднородное линейное преобразование g, сохраняющее расстояние между точками этого пространства и его ориентацию.
Известно, что любое движение g в Еп можно записать в виде
x~^hx-\-a, (1)
где h — вращение в пространстве Еп (т. е. некоторый элемент группы SO (п)), а а — вектор из Еп. В соответствии с этим будем писать
g = g(а, /г).
Движения евклидова пространства образуют группу. Будем обозначать ее через М (л). Группа М (л) изоморфна группе матриц (л-(-1)-го порядка
h а\
О <2)
где h — ортогональная матрица, а — столбец с л элементами, 0 — строка с п нулевыми элементами.
Отсюда легко вытекает, что
g(ai, hi)g(ai! Aa)=g(a1 + A1aa. Me). (3)
544 ГРУППА ДВИЖЕНИЙ га-МЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. XI
В частности, имеет место равенство
g(a, h)=g{а, е)?(0, h)=g(0, h)g(h 'а, е), (4)
где через е обозначено единичное вращение.
ВЕедем в группу М(п) параметризацию. Пусть g=g(а, /г). Вращение h задается углами Эйлера д{, —1, Вектор же а удобно задавать сферическими координатами г, <р1; . ..,срл л
(см. п. 1 § 1 главы IX).
Таким же образом элемент g группы М(п) задается —~
углами в;, л—1 углом cpft и положительным числом г. Эти числа
меняются в следующих границах:
Os?0{<2u,
Osg0i<^7t, Z>1,
О - с г <^оо,
0 «? ?i <С
А>1.
Как было показано в п. 3 § 1 главы IX, вектор а со сферическими координатами г, <р1; ..., <рлл может быть записан в виде
а = gi Ы • • • gn л (<pn._i) г, (5)
где г — вектор вида (0, ..., 0, г) и gk (ср) — вращение на угол ср в плоскости jcfc+1, хк:
х'к = xk cos ср + xk+1 sin ср,
х'к +1 = — Хк sin ср + xk+l COS ср.
Отсюда вытекает, что элемент g(a, К) группы М (л) может быть записан в виде
g(a, h) = g(а, <?)^(0, /t)=ft(?i)...g„.j(vi)^(r' е)/,т(0, h). (7)
Легко проверить, что инвариантная мера в группе М (л) задается формулой
dg=dhda, (8)
где dh — нормированная инвариантная мера в подгруппе SO (л), а da — евклидова мера в Еп.
§ 2. Неприводимые представления класса 1 группы М (я)
1. Описание представлений TK(g). Неприводимые представления класса 1 группы М(п) строятся так же, как и представления TR(g) группы М (2), с той лишь разницей, что окружность заменяется (л — 1)-мерной сферой.
§2] НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КЛАССА I ГРУППЫ М (л) 545
Обозначим через нормированную инвариантную меру на сфе-ре 5я'1: ,п,
г "jrfs, ... dln_t
dl~ 2*»*|6Я| • (1) Пространство функций f(|) на S" 1 таких, что
||/|,*= ^ |/(|)\Ч.1,
Sn-1
обозначим через С2 (5Л_ *). Будем строить представления группы М (л) в этом пространстве.
Пусть R — комплексное число. Каждому элементу g=g(a, К) группы М (л) поставим в соответствие оператор
