Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
TR(g)fG) = eR*’Vf(h~4) (2)
в пространстве С2(5Л-1). При g-1 = ig-(ai, h{), g2=g(ai, h2) имеем
= hihz)
и
TR Ы TR Ы/(I) = TR fe) c*. 1)/№4) =
= ^(aj, 1) +Я(аа, А-Ч)/(й-:‘Aj 4) = +Ai«s, Ю/'{(ft1ft.2)~1|).
Поэтому
7* to) ^ (ft) / (I) = TR (glgi)f (I) (3)
и, следовательно, TR(g) является представлением группы Ж (л). Элементам 1г подгруппы 50 (л—1) соответствуют операторы
TR{h)f(l)=f{h~%), (4)
т. е. операторы квазирегулярного представления подгруппы SO (л— 1). Очевидно, что функция/0(|)= 1 инвариантна относительно всех операторов TR(h), h^SO(n—1). Таким образом, представления TR(g) являются представлениями класса 1 относительно подгруппы SO (л— 1).
Поскольку мера d% инвариантна при вращениях сферы S'1'1, представление TR(g) унитарно тогда и только тогда, когда R = pi — чисто мнимое число. В самом деле,
(TrWv ЗДШ= 5 ^R^)(A'l)fdhxl)h{h%)di=
= \ *<* + *>C.4>/i(g)/a(g)rfg.
sn~ 1
Отсюда видно, что равенство
(fv fd = (TR(g)fv TR(g)h) (5)
выполняется для всех /, /8 и g, лишь если = 0. А это и зна-
чит, что R — чисто мнимое число.
546
Группа движений п-меРноГо Пространства
[Гл. xi
2. Неприводимость представлений Tn(g). Доказательство неприводимости представлений TR(g) при R^O протекает почти так же, как проведенное в п. 10 § 2 главы IX доказательство неприводимости представлений Tt(g) группы SO (л). Единственным отличием является то, что в случае группы М (л) надо взять инфинитезимальный оператор, соответствующий подгруппе параллельных переносов вдоль оси Охп. Пусть gt = (а, е), где а = (0, ... , 0, t). Тогда
TR(gt)f{l) = e^nf{l).
•1й операто]
= (0, (
dTR(gt)f(l)
Поэтому инфинитезимальный оператор А, соответствующий подгруппе элементов вида g(a, е), а = (0, 0, t), задается формулой
dt
/-о
=Rua)- (i)
Дальнейшее доказательство проводится дословно так же, как и в случае группы SO (л).
Если же R = 0, то представление TR(g) сводится к квазирегулярному представлению подгруппы SO (л):
T*{g)f&)=f{h~%), g=g(a, h), и потому приводимо.
§ 3. Зональные и присоединенные сферические функции представлений класса 1 группы М(п)
В этом параграфе будут изучены матричные элементы представлений T.R(g), стоящие в нулевом столбце. Мы увидим, что эти элементы выражаются через функции Бесселя и функции Гегенбауэра. Полученная связь позволит установить ряд новых свойств функций Бесселя.
1. Баз-ис в пространстве (Sn_1). Как и в главе X, в качестве базиса в пространстве выберем функции E^(^)1) на сфере S'1'1,
описанные в п. 6 § 3 главы IX, где М = (тф ..., ±тпЛ) и /= = /«о 5^ тх ^ ... тп_ъ ^ 0.
Этот базис удобен тем, что в нем элементам h подгруппы SO(ri) соответствуют клеточно-диагональные матрицы, на главной диагонали которых стоят канонические матрицы неприводимых унитарных представлений Tt(h) группы SO (л).
Функция Е0(?) тождественно равна единице, следовательно, инвариантна относительно операторов TR(h), h^SO(n). Будем изучать матричные элементы tJ/A0(g) (присоединенные сферические функции
1) Нам удобно внести индекс I в символ М.
§ 31 ЗОНАЛЬНЫЕ И ПРИСОЕДИНЕННЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 547
представления TR(g)) и, в частности, матричный элемент *ob(g) (зональную сферическую функцию этого представления). Из результатов п. 5 § 2 главы I следует, что при hv h^^SOirt—1)
tm №) = tm (g)
И
too(h,gh>) = t%0(g).
Любой элемент g группы M(n) можно представить в виде g=g(a, h) = g(а, е)^(0, h).
Поэтому
tm{g) = tMo[g{а, «)]• С1)
Если a = hxan, где ал = (0, ..., О, г), то
?(а, <?)=^ (0, hi)g(an, e)g(0, Й71)
и поэтому
^оо О?) = too [g(ал, е)]. (2)
Это равенство показывает, что too(g\ где g — g(a, h) зависит только от длины вектора а. Матричные же элементы зависят
от переменных <р1( ..., <p„_j, г.
2. Вычисление зональных сферических функций. Как было показано в предыдущем пункте, зональные сферические функции too{g) достаточно вычислить для элемента gr = g(а„, е), где ал = = (0, ..., 0, г). Этому элементу соответствует оператор, переводящий функцию Е0(?)=1 в функцию
TR(gr)V0(l) = e™n.
Поэтому
too{gr) = {TR{gr)V0’ Ео) = (***„, 1)= 5 ***»</§. (1)
s'1-1
Перейдем к сферическим координатам. Мы получим
Г (—\ л
tOo(gr) =----- /я—ь' I ^rc0S<psitin 2ср дГср (2)
