Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
При разделении переменных вершине первого ранга соответствует дифференциальное уравнение
---------' _______________ chP ф sh9 cp — +
chP 6 sh? !f rfif * * rftp ~
+ [L
4*%-(r + p — 1) s (s + 9 — 1)
Здесь
ch2 о
' m-1>
sh2 9 P ^=Pm’
l=u,
“I- P “I- ч)j гг — 0- (3)
Ч = Чт,
где t принимает наибольшее из возможных значений. Решения этого уравнения имеют вид
iti = ths
' ch' сoF ¦S
V
-l + r
th2 со
(4)
(5)
h2 = cth9+i_1 cp ch' cpF
-l — s — q+ 1
1 —
(6)
Собственные функции оператора Лапласа на гиперболоиде выражаются формулой, аналогичной формуле (15) п. 4 § 5 главы IX. Именно,
(S) — П .. . is (?it . . . is> Л), (7)
где при s 2 функции Uii.., г имеют тот же смысл, что и в п. 4 § 5 главы VIII, а функции Us(ср5; Л) являются решениями уравнения (3) при значениях параметров (4). В случае, когда
дерево имеет вид, изображенный на рис. 8, то функции Ка(|) лишь постоянным множителем отличаются от функций t™K(g) п. 1 § 3.
из
540 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ВРАЩЕНИЙ [ГЛ. X
3. Орисферические координаты на гиперболоиде. Укажем еще одну систему координат на двуполостном гиперболоиде, в которой оператор Лапласа допускает разделение переменных. Она строится следующим образом. Рассмотрим дерево, содержащее вершину лг0ц, но не содержащее jc0ia (рис. 9). Всем вершинам, кроме вершин .г011, поставим в соответствие те же преобразования, что и с п. 2, т. е. евклидовы вращения на угол <р,- ... /т для вершин, ранг которых больше единицы, и гиперболические вращения на «угол» cpft для вершин Хак. Вершине же -хг011 поставим в соответствие бирациональ-ное преобразование h (t), которое будем называть орисфертескпм вращением в подпространстве (лг0, jc0i, -*ou) на угол t:
-*oi -'"011
Введем параметр сри, положив
^ ch ср^ ... ch ср*,
где k — число вершин первого ранга, и примем числа {?« . ..гт} 33 орисферические координаты на гиперболоиде [х, х]—1. Именно, точка с координатами {cp;^ , * } имеет вид
X = . JJ g (<pit... ij h (?п еъ ch cp,... ch cpj fj' g (cp ti> Q g (cp,) x0.
(2)
Здесь распространено на все вершины второго ранга,
кроме .г011, а остальные произведения—на все вершины соответствующего' ранга; х0 — точка гиперболоида, соответствующая оси Олг0. Из определения орисферических координат следует, в частности,
что
лг0 = ch <ра ... ch cp* j^ch срг + ^ ,
-*oi = ch срз ... ell cpft ?sh cpj — e'Pij,
-*011 = e<tl ch cp2 ... ch cpft cpn cos ерш ... cos <pllm,
-Von m — e91 ch cpa ... ch cp* cpn sin cpu m,
где k и m имеют наибольшее значение для данного дерева.
= х0-
— -*01
2tx01t -f-1~
2 (-^0 "4" Л"сн) ’ 2^011 ~Ь Р
2 (х0 + л'01)
-*011 “Ь t'
(1)
ОПЕРАТОР ЛАПЛАСА НА ГИПЕРБОЛОИДЕ
541
Простой подсчет показывает, что в орисферических координатах дифференциал длины дуги на гиперболоиде имеет вид
dsi = 2 В\ ' ¦' 'lm ¦ ¦ • V (3)
где коэффициенты В^ ... ,• определяются следующим образом. Если (к, У^(1. 1). то где Л' ...г задается форму-
лой (3) п. 3 § 5 главы IX (с заменой cos ср5 и sin <ps на ch ср5 и sh fs,
1 sg; <ps «с: к). Далее,
Вх = ch ср2 ... ch cpfc,
Вп = e'fi ch Ф.2 ... ch cpfe,
5пгз... is = e<Pl ch cp2 ... ch cpft <pn Л;з... ,
где Л- . определяется формулой (3) п. 3 § 5 главы IX. Например,
5,ц = ch <f>3 . • • ch wh <рц cos <рш ... cos срцт.
Из выражения для ds3 обычным образом получаются выражения для инвариантной меры и оператора Лапласа на гиперболоиде. Мы не будем приводить их выражения.
4. Разделение переменных в орисферических координатах. Параметры разделения для уравнения Ц)и-|-Хн = 0 в орисферических координатах имеют следующий вид: всем вершинам, ранг которых больше, чем 1 (кроме вершины лг0ц), соответствуют целые числа, а вершинам первого ранга и вершине лг0ц—комплексные числа. При этом параметры разделения {/< .*„,} должны удовлетворять тем же
условиям, что и в п. 5 § 5 главы IX.
После разделения переменных для всех аргументов, кроме и срп, получаются те же уравнения, что и в п. 2. Поэтому надо вывести лишь уравнения для аргументов срА и <рц. Введем для краткости следующие обозначения: ср=срп, = q = qn (число вершин, подчиненных .Гоп), / = /ц, s~lnm (где т принимает наибольшее возможное значение), и k=lv Используя выражения для коэффициентов Z?t- ... г > получаем уравнение для срп*.
0)
1 — Ч
Подстановка и = ср 2 V сводит его к уравнению Бесселя. Поэтому частные решения уравнения (1) имеют вид
