Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
СО
Ф(1><0 = $ /(х)[^а8([х, g] — t)dt\dx,
[х, х] = 1 О
и поэтому
Ф (!<*) = 5 /(x)[x,g]'rfx. (7)
[х, х]=1
Выведем теперь выражение функции /(х) через ее компоненты
Фурье Ф(|, а). Для этого сначала выразим через Ф(|, а) функцию
h (|), Из формулы обращения преобразования Меллина (см, п. 2 § 4 главы II) следует, что
a-fi СО
A(*S) = i [ t^(l,o)do.
a — i со
Полагая t= 1, получаем
a-\-i СО
A(S) = i \ Ф(|.о)*. (8)
a — i со
Теперь используем формулы обращения для преобразования Гельфанда— Граева (см. п. 3). Мы получим при п = 2m -j-2
I \\т a-\-i со
= 5 8(2m) ([х, |] 1) ^ ®(g,o)rforfS =
^ ’ 16,61=0 a —ico
, . a + ia>
= 2 5 dQ 5 Ф (I> a) 8(2m) ([x, |] 1) d\. (9)
^ ' a —ico [6,61 = 0
Так как функция Ф(|, а) однородна, то она однозначно определяется своими значениями на любом контуре, пересекающем один раз каждую образующую, конуса [|, |] = 0, Выберем в качестве такрго контура сферу Sn— сечение конуса плоскостью ?„=1. Точки сферы Sn
532 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ВРАЩЕНИЙ [Гл. X
будем, как и выше, обозначать через |\ Ясно, что Ф(?1', а) = ?аФ(|', а). Инвариантная мера d\ на конусе связана с нормированной евклидовой мерой d%' на сфере S'1Л равенством
П — 1
= (10)
г (~2~)
Отсюда следует, что при п = 2т-\-2
/(х)=--------------------------х
22m+!TCm+2 Г ^П + yj I a-\-i со со
X I do 51™-1 5 ф (tl', a) ([х, tl'] - 1) dl'dt =
a—loo 0 sn-2
_ (-Dm )(
tfm + lKm+J r (m + y) I
a-j-ioo со
X S ^^^)\t^m)([^t\-^l)dtd\.- (11)
a—ico 5Л~3 0
Ho
CO
$ f 28('2m) ([x, I'] — t ’) dt =
о
CO
= J ra8(am) ([x, l'] — t)dt = ^^—^- [X,
0 ^
Поэтому из формулы (11) вытекает при п—2т-\-2, что
/00=-----------------------------------------------------X
' 22m+licm+2 Г (">+4) 1
a + ico
х \ J Ф(Г<°)[х<1Г ^Г- (12)
О — i со Sn~2
Точно так же из формулы (5) п. 3 выводится, что при п = 2т -(- 1
a-(-ioo
\ (—1Г+1 С Г(а + 2т— 1) , , ..
/ (х) 22т1стГ (т) I \ Г (a) g 71(3 X
a—ico
х $Фа',а)[х,гг^т+1^г. (13)
5Л-2
где —2/re-j-1 <^а<^ 1.
S 4] РАЗЛОЖЕНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ Sff (я) 533
При выводе формулы (13) используется равенство
= + (|4) где интеграл понимается в смысле регуляризованного значения. Для вывода этого равенства заметим, что
со 1 со
J ! t — 1 jx tMm~- dt = $ (1 — t)>• 2 dt + — l)43+2m~2 dt.
0 0 1
Первый интеграл сходится при Re X > — 1 и имеет значение
Г(Х + 1)Г(а + 2т— 1)
Г (а + X + 2т)
а второй сходится при Re (X -|- а -|- 2т) < 1 и имеет значение Г(Х + 1)Г(—а —X —2w+ 1)
Г(— а— 2т+ 2)
Поэтому интеграл (14) равен значению при X == — 2т суммы
™ Г(» + 2/я-1) , Г(-в-Х—2/я+1)1
1 "Г Ч Г(а + Х + 2т) г Г(—а —2т + 2) J*
Вычисляя это значение, мы и получим равенство (14). Условие на а связано Г(а + 2/л — 1) .
с наличием полюсов у —5—--------------— ctgita.
Г (а) к
Из формул (12) и (13) легко вытекает выражение нормы ||/||2 через функцию Ф(т], а). Именно, подставим в интеграл
н/п2= ^ /(x)/oorfx
[х, Xl = l вместо функции /(х) ее выражение по формуле (12) (или по формуле (13), если п=2т~\- \). Используя далее формулу (7), получим при п = 2т -(- 2
a-f-ico
li/ll’ =------------\