Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Виленкин Н.Я. -> "Специальные функции и теория представлений групп" -> 215

Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.

Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представлений групп — М.: Наука, 1965. — 588 c.
Скачать (прямая ссылка): specialniefunxiiiteoriyagrupp1965.pdf
Предыдущая << 1 .. 209 210 211 212 213 214 < 215 > 216 217 218 219 220 221 .. 241 >> Следующая


СО

Ф(1><0 = $ /(х)[^а8([х, g] — t)dt\dx,

[х, х] = 1 О

и поэтому

Ф (!<*) = 5 /(x)[x,g]'rfx. (7)

[х, х]=1

Выведем теперь выражение функции /(х) через ее компоненты

Фурье Ф(|, а). Для этого сначала выразим через Ф(|, а) функцию

h (|), Из формулы обращения преобразования Меллина (см, п. 2 § 4 главы II) следует, что

a-fi СО

A(*S) = i [ t^(l,o)do.

a — i со

Полагая t= 1, получаем

a-\-i СО

A(S) = i \ Ф(|.о)*. (8)

a — i со

Теперь используем формулы обращения для преобразования Гельфанда— Граева (см. п. 3). Мы получим при п = 2m -j-2

I \\т a-\-i со

= 5 8(2m) ([х, |] 1) ^ ®(g,o)rforfS =

^ ’ 16,61=0 a —ico

, . a + ia>

= 2 5 dQ 5 Ф (I> a) 8(2m) ([x, |] 1) d\. (9)

^ ' a —ico [6,61 = 0

Так как функция Ф(|, а) однородна, то она однозначно определяется своими значениями на любом контуре, пересекающем один раз каждую образующую, конуса [|, |] = 0, Выберем в качестве такрго контура сферу Sn— сечение конуса плоскостью ?„=1. Точки сферы Sn
532 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ВРАЩЕНИЙ [Гл. X

будем, как и выше, обозначать через |\ Ясно, что Ф(?1', а) = ?аФ(|', а). Инвариантная мера d\ на конусе связана с нормированной евклидовой мерой d%' на сфере S'1Л равенством

П — 1

= (10)

г (~2~)

Отсюда следует, что при п = 2т-\-2

/(х)=--------------------------х

22m+!TCm+2 Г ^П + yj I a-\-i со со

X I do 51™-1 5 ф (tl', a) ([х, tl'] - 1) dl'dt =

a—loo 0 sn-2

_ (-Dm )(

tfm + lKm+J r (m + y) I

a-j-ioo со

X S ^^^)\t^m)([^t\-^l)dtd\.- (11)

a—ico 5Л~3 0

Ho

CO

$ f 28('2m) ([x, I'] — t ’) dt =

о

CO

= J ra8(am) ([x, l'] — t)dt = ^^—^- [X,

0 ^

Поэтому из формулы (11) вытекает при п—2т-\-2, что

/00=-----------------------------------------------------X

' 22m+licm+2 Г (">+4) 1

a + ico

х \ J Ф(Г<°)[х<1Г ^Г- (12)

О — i со Sn~2

Точно так же из формулы (5) п. 3 выводится, что при п = 2т -(- 1

a-(-ioo

\ (—1Г+1 С Г(а + 2т— 1) , , ..

/ (х) 22т1стГ (т) I \ Г (a) g 71(3 X

a—ico

х $Фа',а)[х,гг^т+1^г. (13)

5Л-2

где —2/re-j-1 <^а<^ 1.
S 4] РАЗЛОЖЕНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ Sff (я) 533

При выводе формулы (13) используется равенство

= + (|4) где интеграл понимается в смысле регуляризованного значения. Для вывода этого равенства заметим, что

со 1 со

J ! t — 1 jx tMm~- dt = $ (1 — t)>• 2 dt + — l)43+2m~2 dt.

0 0 1

Первый интеграл сходится при Re X > — 1 и имеет значение

Г(Х + 1)Г(а + 2т— 1)

Г (а + X + 2т)

а второй сходится при Re (X -|- а -|- 2т) < 1 и имеет значение Г(Х + 1)Г(—а —X —2w+ 1)

Г(— а— 2т+ 2)

Поэтому интеграл (14) равен значению при X == — 2т суммы

™ Г(» + 2/я-1) , Г(-в-Х—2/я+1)1

1 "Г Ч Г(а + Х + 2т) г Г(—а —2т + 2) J*

Вычисляя это значение, мы и получим равенство (14). Условие на а связано Г(а + 2/л — 1) .

с наличием полюсов у —5—--------------— ctgita.

Г (а) к

Из формул (12) и (13) легко вытекает выражение нормы ||/||2 через функцию Ф(т], а). Именно, подставим в интеграл

н/п2= ^ /(x)/oorfx

[х, Xl = l вместо функции /(х) ее выражение по формуле (12) (или по формуле (13), если п=2т~\- \). Используя далее формулу (7), получим при п = 2т -(- 2

a-f-ico

li/ll’ =------------\

Предыдущая << 1 .. 209 210 211 212 213 214 < 215 > 216 217 218 219 220 221 .. 241 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed