Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
§4] РАЗЛОЖЕНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ SH (л) 529
Вспоминая определение интеграла по орисфере при реализации пространства Лобачевского на верхней поле гиперболоида [х, х] = 1, можно записать функцию h(|) в следующем виде:
A(D = S/(X)8([X> 1]—(2)
где dx — инвариантная мера в пространстве Лобачевского.
Можно доказать (см. [15], стр. 388), что если /(х) — бесконечно дифференцируемая финитная функция на верхней поле гиперболоида [х, х]=1, то функция h{|) на конусе, определяемая формулой (2), бесконечно дифференцируема, финитна и равна нулю в некоторой окрестности вершины конуса.
В книге [15] (см. п. 3 § 2 главы V) выведена формула обращения для интегрального преобразования, переводящего /(х) в h (|). Именно, там доказано следующее утверждение.
Пусть /(х) — финитная функция в (п— 1 )-мерном пространстве Лобачевского и
h(l)=]f(x)b([x, Ц-1)Л. (3)
— ее интегралы по орисферам [х, |] — 1 этого пространства. Если размерность п—1 пространства Лобачевского нечетна, п = 2т -j- 2, то формула обращения для интегрального преобразования (3) имеет вид
= j h (I) 8('2m) ([a, I]-l)^. (4)
Если же n = 2m-\-\, то формула обращения пишется следующим образом:
f (а) = Ь ^шт) \ h (D ([а. 11-1)'am d%. (5)
Здесь интеграл понимается в смысле регуляризованного значения,
а именно:
S A(S)([a, S]-l)-*nrfS=$A(S)([a, I]-l)^I|^.2m. (6)
4. Квазирегулярное представление группы SH(n). Обозначим через Л пространство бесконечно дифференцируемых финитных функций /(х) на верхней поле гиперболоида [х, х]= 1. Каждому элементу g группы SH{n) поставим в соответствие оператор L (g) в пространстве М, задаваемый формулой
L(g)f(x)=f(g~'x). (1)
Ясно, что L fe) L (g^ = L (gigt) и потому L(g) является представле-
нием группы SH(n).
530 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ВРАЩЕНИЙ [ГЛ. X
Пополним пространство Л по норме
НЛ|2= S |/(x)|Vx. (2)
[X, х] = 1
Мы получим пространство Jg, состоящее из всех функций /(х) на гиперболоиде [х, х]=1, хп^>0, таких, что
^ |/(х) |2rfx<+oo.
Представление L(g) можно продолжить на пространство .?). При этом из инвариантности меры dx вытекает, что L (g) унитарно относительно нормы ||/||.
Разложим представление L(g) на неприводимые. С этой целью каждой функции /(х) из пространства Л поставим в соответствие функцию
h(l)= I /(х) 8 ([х, |] — 1) dx, (3)
[х,х]=1
заданную на верхней поле конуса [|, |] = 0.
Найдем, во что переходит при этом преобразовании оператор L(g). Из равенства (3) видно, что функции L(g)f(x)=f(g~1x) соответствует на конусе функция
-M!)=$/fe“lx)5([x> II— l)rfx=
= 5/(х)8([^ IJ — О^х = $/(х)3((х, g %\— 1 )dx = h(g Ч).
Таким образом, квазирегулярному представлению L(g) соответствует представление
T(g)h(l) = h(g'l) (4)
в пространстве функций на верхней поле конуса. Тем самым задача о разложении представления L (g) свелась к задаче о разложении представления T(g). Но эта задача оказывается значительно проще и сводится к разложению функций на конусе по однородным компонентам.
Именно, функции /г(|) поставим в соответствие функцию
СО
Ф(1 ,°)=\h(t\)t^dt. (5)
о
При а^>0 имеем
со со
Ф (а%, о) = $ h (atl) f dt = a°\h (fg) t ”а 1 dt = aa Ф (g, a),
о о
и потому функция Ф (g, в) является однородной функцией от g степени о. При этом функции h(g~*§) соответствует функция
Tn°(g)®(l °)=Ф(Г'$. 4 (6)
§ 4] Разложения представлений группы $н (п) 531
Но Тт (g) есть не что иное, как построенное в п. 1 § 2 представление группы SH(ri) в пространстве однородных функций на конусе. Эти представления неприводимы (за исключением случая, когда а или
— п — а —[— 2 — целые неотрицательные числа). Поэтому представления T°{g) являются неприводимыми компонентами T(g) (или, что то же, 1(g)).
Выведем явное выражение компонент Фурье Ф(|, а) функции /(х). Из формул (3) и (5) вытекает, что
СО
Ф (1, о) = $ Г"'1 $ /(х) 8 (t [х, |] 1)й?х =
О [х, х] =1
со
= 5 /(x)8([x,S]-r*)rfx.
О [х, х]=1
Меняя порядок интегрирования и заменяя t на t~l, получаем отсюда
