Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
^ _Т(п + т-2)
Ьт (Ч— ,п1Т(п — 2) ’
(3)
Ы
Если же положить лг = 0, то получаем
Г(п-2)
т = 0 . t\ 2
-X
r(2m + i)'/s»+"„=i
№
2 т\ д — 2
JL-------------
Г
(4)
7. Некоторые интегралы, содержащие функции Бесселя. Вычис-
iR
лим зональную сферическую функцию t00 (gr), используя бисфериче-ские координаты (см. главу IX, § 4, п. 11). Используя формулы (1) и (4) п. 2 и выражение для инвариантной меры в бисферических координатах, получаем
JP (•*)_ 2
X
11/2 п
X $ cosap_mbl a sinm i а dv. ^ eixcosas'int? sin *рчп ср о о
fi_2
где р=~2—. В силу формулы (5) п. 2 это равенство можно переписать в следующем виде (т = 2q -j- 2):
is/2
^ Jp_q(xcos a) cosp 9 a siniqn a da 2ЧГ (q-\- l)^ei^. (1)
о
Другой интеграл получается следующим образом. Сделаем параллельный перенос на вектор а, я-я координата которого равна гь т-я равна га, а все остальные равны нулю. Этот параллельный перенос g(а) может быть записан в виде g(a) = h~1grh, где h — вращение, переводящее вектор г = (0, О, l^ri-j-rf) в вектор а. В силу
свойств зональной сферической функции имеем (при R = l)
Ws-(a)]='oo(s»=2'T0’+i>¦
554 ГРУППА ДВИЖЕНИЙ л-МЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. XI
С другой стороны, вычислим t00(g(а)) в бисферических координатах. Интегрируя ПО 0Ъ ..., 0ffl_s, ..., получаем
too (gr) = 5 еПг^ + r^) d\ =
sn-l
It/2 Ж 15
_ 2Г(р+1)
, т, /т— 1 \т, / т
^ ^ ^ ^ ei (/"1 cos acosi|i + /’a sin a cos 6) у/
\ 2 )Г ~~2 )0 °' d
X sin”1"2 0 sin*p_m ф cos2p~nH1 a sin"11 a dMtyda.
Проинтегрируем no 0 и f, учитывая равенство (5) из п. 2. Полагая tn = 2q, получаем
«/2
5 Jp-q (ri cos a) -V1 (r« sin a) cos^"?+1 a sin9 a da. =
0
= rp- QrQ 1 (r« _|_ rJ)“ i Jp (|/rT+7| ). (2)
§ 4. Предельный переход по размерности пространства. Многочлены Эрмита
В предыдущих главах мы изучили свойства многочленов Гегенбауэра и функций Бесселя и изучили их связь с представлениями групп SO (tt) и М(п). Здесь будет изучено поведение этих функций при я—>со. Покажем, что при соответствующем предельном переходе многочлены Гегенбауэра и функции Бесселя стремятся к многочленам Эрмита. Отсюда будет получен ряд свойств многочленов Эрмита.
1. Многочлены Эрмита как предел многочленов Гегенбауэра.
Будем исходить из интегрального представления многочленов Гегенбауэра
- Г (2;,+/) Г (/7 + 1) / _______
Cf(x) =------=------*----— \(x + iVT^lc4)l(\—ty-4t (1)
V 7 V*l\T{2p)T(p) J
_ I
fl — 9
(cm. n. 7 § 4 главы IX), где p=^=—Из равенств
C (i — уЛ дГ((,)
-¦ Thj)
§ 4] МНОГОЧЛЕНЫ ЭРМИ'ГА 555
при —t ф 0 ясно, что Г
lim т/- т ( \ С1 Р)р л — Ъ (О-
р-»со У лГ(р)
11Ш
р-> со
Отсюда вытекает
1
lim f^^T) Cf(x)= j (х-f / f\—x4)lb{t)dt = xl.
(2)
Более интересная предельная формула получается, если сделать
и X
в интеграле (1) подстановку t = = и заменить л; на Мы по-
У Р У р
лучим
,х) г(2, + -)г(,+1)
®\Гр1~ г- '4-'х
У я /IГ (2р) Г (р) р 2 Yp
X j (*+i]A-?«)'(i-?)”*.. (3)
-V?
При р—>оо интеграл в правой части стремится к интегралу вида
ОО
J (х-\-lu)le~ut du.
— ОО
Чтобы изучить поведение коэффициента при интеграле, когда р —> оо, используем формулу Стирлинга
__ __i^
Г (р) у" 2кр 2 е~р. (4)
Заменяя в равенстве (3) Г-функции по формуле Стирлинга, получаем
2‘
1Ш р ‘ О/ = -
р- ___________________________
Введем многочлены Эрмита Ht{x), положив
I
lim р 2 Cpi = f (х -f lu)le~“2 du. (5)
p —* oo \)/ р/ У л l\ J
— CO
Из формулы (5) вытекает, что
Н'(х) = ~ j (x + it)le^dt. (6)
